Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

пренебречь отношением ргіа?п по сравнению с единицей, то формулы для макси­ мального прогиба и максимального изгибающего момента будут иметь вид

8 у* 1

•/Иглах = •'Ист я2 2-і Ф ‘

я=>1, 3, 5

Числовые ряды в этих выражениях имеют конечные суммы:

оооо

о медленном статическом нарастании возмущающей силы, то максимальные про­ гиб и изгибающий момент будут равны их статическим значениям.

2. Решение методом начальных параметров

Следует отметить, что решение (4.19), включающее в себя бесконечный ряд, все же неудобно, несмотря на то, что последний быстро сходится. Кроме того, сходимость рядов в выражениях для изгибающего момента и поперечной силы, которые получаются путем двойного и тройного дифференцирования выражения (4.19) для прогиба у, резко ухудшается (особенно для поперечной силы). Поэтому в случае действия вибрационной нагрузки для балок постоянной жесткости, несущих равномерно распределенную массу, зачастую используют другую форму решения уравнения, которая получена в результате применения метода начальных параметров и которая позволяет получить решение в конечном виде. Рассмот­ рим эту форму решения.

Для случая ЕІ = const и m(x) = m = const уравнение (4.17) имеет

Частное решение этого уравнения, соответствующее установив­ шимся колебаниям, будем искать в следующей форме:

После подстановки в дифференциальное уравнение и сокраще­ ния на sin pt получим

Разделим все члены на ЕІ и введем обозначение

78

Тогда

Будем изучать случай, когда на балку действует сосредоточен­ ная возмущающая сила. Этот случай, как правило, и имеет место в действительности. Кроме того, если получено решение для сосре­ доточенной силы, то решение для распределенной нагрузки можно получить путем интегрирования, представляя распределенную на­ грузку р(х) в виде суммы бесконечного множества сосредоточен­ ных сил p{x)dx. Поэтому далее исследуем участок балки 0 < х < а , где а — абсцисса точки приложения сосредоточенно» возмущаю­ щей силы Р (t) = Р sin pt.

Итак, рассмотрим сначала решение однородного уравнения

в § 14. Поэтому можно написать

X (х) — Су ch sx + С2sh sx -f Свcos sx + С4sin sx.

Очевидно, что решением уравнения (4.22) будет также являться любая линейная комбинация функций shsx, chsx, sinsx, cos sx. Имея это в виду, представим решение уравнения (4.22) в следую­ щей форме:

где Ау, А2, Л3, Л4 — произвольные постоянные;

Ах, Вх, Сх, Dx — функции влияния*), определяемые по вы­ ражениям

Отметим следующие очевидные свойства функций влияния:

) Для функций Ax, Bx, Cx, D x составлены таблицы.

79

Используя свойства (4.25), вычисляем последовательно три

Выразим далее постоянные А и А2, А 3, А 4 через прогиб уа, угол поворота сечения q>0, изгибающий момент Л40 и поперечную силу Q0 на левом конце балки, т. е. через начальные параметры, которые

Перейдем далее к составлению аналогичного уравнения на сле­ дующем участке балки при а<х<Н . Обозначим прогибы, углы поворота, изгибающие моменты и поперечные силы соответственно в конце первого участка и в начале второго следующим образом:

80

Ми (а) = Mi (а),

Qu (а) = Qi(a) —P.

В последнем условии использовано амплитудное значение воз­ мущающей силы, поскольку максимальное значение прогиба имеет место при sin pt= 1.

Проведем в начале второго участка сечение и будем рассматри­ вать правую отсеченную часть как самостоятельную балку, на левом конце которой приложены силовые и кинематические фак-

d X n (а)

торыЛ'ц (а) ; — ^ — ; М и (а); Qn (а), заменяющие действие левой

Примем в последнем уравнении Р = 0. Тем самым мы устраняем границу между участками, и, следовательно, первые четыре члена могут быть вычислены по уравнению (4.27), но при х>а. Поэтому, если Р¥=0, уравнение (4.30) может быть представлено также в следующем виде: