Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

жестко защемленным концом, а другим шарнирно опертым. Сле­ довательно, вторая группа стоячих волн при колебаниях двухпро­ летной балки будет такая же, как и для однопролетной балки,, один конец которой защемлен, а другой шарнирно оперт.

п =1

Рис. 34

Установленные два вида колебаний можно было предвидеть. Любые колебания рассматриваемой симметричной двухпролетной балки можно представить складывающимися из симметричных (когда сечение балки на средней опоре не поворачивается) и обратно симметричных (когда кривая изгиба одного пролета обратно симметрична кривой изгиба второго пролета и, следова­ тельно, опорный момент на средней опоре равен нулю).

Таким образом, частоты свободных колебаний двухпролетной симметричной неразрезной балки будут равны:

ты о)2, С04 и сое — уравнению igkl = \\\kl.

Формы стоячих волн, соответствующих первому и второму виду колебаний при n —1, изображены на рис. 34.

§ 17. Вынужденные колебания балок при действии вибрационной нагрузки

1. Решение в рядах

Пусть на балку, рассмотренную в § 13, кроме сплошной на­ грузки q{x), обусловленной действием веса конструкций, передает­ ся вибрационная нагрузка

р (X, t) — р (X) sin pt,

где р(х) — закон изменения нагрузки вдоль оси балки; р — круговая частота возмущающей силы.

73:

Будем полагать, что законом р(х) может быть описана любая нагрузка, в том числе и сосредоточенная, передающаяся на балку от установленного на ней оборудования.

Очевидно, что дифференциальное уравнение вынужденных

Общее решение этого уравнения должно состоять из общего решения однородного уравнения, описывающего свободные коле­ бания, и частного решения неоднородного уравнения. Имея в виду, что свободные колебания быстро затухают, будем далее изучать установившиеся колебания.

Вибрационная нагрузка р(х, t) вызовет перемещения по всем главным формам. Поэтому решение неоднородного уравнения будем разыскивать в виде суммы перемещений, возникающих по

Подставив это значение в предыдущее уравнение и произведя некоторые преобразования, получим

\ А пгѣ (х) Х п (х) (а>1— р 2) = р (х).

П - * 1

74

Умножим далее правую и левую части полученного уравнения на функцию Х т(х), описывающую одну из форм колебаний, и про­ интегрируем по всей длине стержня обе части:

В левой части этого равенства в силу ортогональности функ­ ций Х п (X) и Х т (х) все слагаемые, кроме слагаемого, у кото­ рого т=п, обратятся в нуль, и в результате равенство будет иметь вид

J т (x) Х \ (х) dx

Пример 6 . Дана простая балка пролетом / с постоянной жесткостью Е] и равномерно распределенной массой т. В точке балки с абсциссой х= а действует сосредоточенная возмущающая сила (рис. 35) P(t) = Р sin р(. Определить урав­ нение упругой линии балки в момент максимального отклонения от положения

75

P (t ) * P s i n p t

Имея в виду формулу (4.15) для частоты свободных колебаний «-ой глав­ ной формы (см. § 16), можно написать

2 Л4я4 EI

Подставим это значение в предыдущее выражение; тогда, после преобразо­ ваний, получим

при четных значениях п обращается в нуль, а при нечетных равна единице. Из курса сопротивления материалов известно, что при статическом действии сосре-

76

доточенной силы Р, приложенной к середине балки, прогиб и изгибающий момент под силой будут равны:

Поэтому формулы для определения максимальных прогиба и изгибающего момента при действии вибрационной нагрузки будут иметь вид

(В)

/1 = 1. 3, 5

Полученные ряды достаточно быстро сходятся.

Если при определении максимального прогиба взять лишь первый член ряда, то ошибка при этом будет менее 0,5%. Для вычисления максимального изгибаю­ щего момента с точностью до 2% следует взять четыре члена ряда. Произведем в соответствии с этими рекомендациями вычисление ушах и М тах. Примем отно­ шение р/<Ві = 3/4. В этом случае

от частоты первого тона колебаний, то в простой балке динамические коэффи­

Заметим, что если частота возмущающей силы будет настолько мала по сравнению с основной низшей частотой собственных колебаний балки, что можно

77