Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Таким образом, в выражение для Х и (х) на втором участке

ке и дополнительное слагаемое, обусловленное действием сосредо­ точенной силы. Очевидно, что это положение справедливо для любого количества сосредоточенных факторов и участков. В ре­ зультате для рассматриваемого случая вместо решения (4.19), включающего в себя ряд, мы получили решение (4.20), где Х (х ) определяется конечными выражениями типа (4.27) и (4.31) для различных участков балки.

Уравнения (4.27) и (4.31) содержат четыре начальных пара­ метра. Два из них всегда известны из условий на левом конце балки. Например, если левая опора шарнирная, то г/о= 0, Мо=0; если левая опора защемлена, то уо—0, фо = 0; если левый конец свободен, то Л40=0, Qo = 0. Два других начальных параметра опре­ деляются из граничных условий на правом конце балки.

УИо=0. Тогда для второго участка балки уравнение максимальной линии про­ гиба (при sin pt= 1 ) будет иметь вид

Начальные параметры cp0 и Qo определяем из условий на правом конце балки:

при х=1

(х)

Х ц (х) = 0 ;

dx2

Найдем вторую производную функции Х п (х):

Исходя из граничных условий на правом конце балки, приходим к двум уравнениям относительно неизвестных параметров ф0 и Q0:

УоsDt — Qo 1 B[+ P SEI SEI

Отсюда определяем cp0 и Q0:

Qo = P Bl~aBl Dl-aDl

Bj-D ]

82

Подставляем значения у0= О, Л40 =0, ф0 и Q0 в выражения (4.27) и (4.31) и получаем уравнения максимальной линии прогиба на первом и втором участках балки:

шах у (X) = Х^ (х) =

при a < X < l

Отсюда могут быть найдены выражения для изгибающих моментов для обоих участков:

d3X l (х)

max М (х) = — ЕІ

dx2

при а < X < I

Зависимости (е) и (ж) описывают уравнения прогиба и изгибающего мо­ мента для обоих участков балки в конечном виде в отличие от зависимостей (а) и (б) предыдущего примера, которые для тех же функций представлены в беско­ нечных рядах.

Пусть возмущающая сила находится посередине пролета (а = //2). Макси­ мальные прогиб н изгибающий момент также возникнут в середине балки (х=ІІ2 ) и будут определяться следующими выражениями:

женные через тригонометрические и гиперболические функции по формулам (5.24), то после преобразований получим:

Глава 5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

§ 18. Энергетический метод исследования свободных колебаний стержней

Рассмотрим колебания основного тона простой балки и иссле­ дуем изменение кинетической и потенциальной энергии в процессе колебаний.

Пусть при колебаниях ось балки последовательно занимает положения I, II, I, III, I и т. д., как это показано на рис. 36. В мо­ мент времени, когда осе-

лее, когда осевая линия будет проходить через положение стати­ ческого равновесия (линия /), скорость движения ее точек будет наибольшая, следовательно, кинетическая энергия будет иметь максимум. В этот момент потенциальная энергия изгиба получит минимальное значение, которое можно принять за начало отсчета потенциальной энергии, т. е. принять равным нулю.

Затем ось балки займет положение III, характеризуемое наи­ большим отклонением и нулевой скоростью, т. е. наибольшим зна­ чением потенциальной энергии и нулевым значением кинетической энергии, и т. д.

Таким образом, свободные колебания балки основного тона можно рассматривать как процесс непрерывного перехода потен­ циальной энергии в кинетическую и наоборот. При этом в силу закона сохранения механической энергии, если не учитывать по­

85

терь, сумма потенциальной U и кинетической V энергии во все время движения должна оставаться постоянной:

U -\- V — С0= const.

Обращаясь к колебаниям балки основного тона (см. рис. 36), можно написать:

— в положении II

Un — Umax', Vn = 0; U\1 -f- Vu —Umax + 0 —C0;

— в положении /

стержня принимает форму стоячей волны с соответствующим числом полуволн. При однотонных колебаниях все точки стержня будут одновременно' проходить через положение равновесия и одновременно достигать крайних положений. Про­ цесс колебаний ничем не будет отличаться от слу­ чая колебаний стержня

по одной полуволне. Воспользуемся уравне­

нием (5.1), чтобы полу­ чить формулу для часто­ ты колебаний однопролет­ ной балки переменной жесткости с любыми опорными закреплениями и несущей распределен­ ную и сосредоточенные

массы (рис. 37). Для определенности на рисунке изображена про­ стая балка.

При дальнейшем изложении будем основываться на предпосыл­ ках,^ принятых в предыдущей главе, т. е. будем пренебрегать инер­ цией вращения элементов и инерцией сдвиговых деформаций. Та­ ким образом, при вычислении кинетической энергии будем учиты­ вать только поступательное перемещение элементов стержня, на­ правленное перпендикулярно оси стержня, а при вычислении по­

тенциальной энергии деформации — только влияние изгибающих моментов.

86