Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

<s)t

 

Разделив на cos у , получим

 

, (Ot

(б)

tg 2 =

Из (б) находим значение первого корня данного семейства:

 

== 2 arctgu)x

 

 

+

2 arctgoJx

arctgtuT

^

(в)

г. —

 

— ----------

1.

Так как при любых олг>0 0<arctg шх<— , то из

(в) следует,

Т

 

 

2

 

что 0<ifi < — .

 

 

 

 

Перемещение, соответствующее моменту времени 11, будет

У,(О = 2 у „ | 1 - І ^ І > 0 .

(г)

Далее, полагая

 

U)X

 

 

 

 

 

 

 

sin у

= О,

 

 

получим значение интересующего нас корня другого семейства:

= я.

откуда

t , = ^2 = T .

Соответствующее этому моменту времени перемещение

У\ (^г) = 2 ——Уст <С 0.

Из полученных результатов следует, что вначале при Ч < —

имеет место максимальное перемещение в направлении действую­ щей силы, а затем при t2 = T — перемещение в противоположную сторону.

Чтобы первое максимальное перемещение имело место во время действия нагрузки (в 1-м интервале), необходимо выполнение оче­ видного условия

1, = — arctgwx.

CD

Преобразуем это неравенство к виду

-!> arctg <öt,

155

откуда

(ОТ .

tg--

Значения cot, для которых последнее неравенство выполняется, можно установить с помощью графика, показанного на рис. 78.

Из графика видно, что это условие выполняется в случае, если

0,371

2-й и н т е р в а л

(О т ).

Получим

выражение

для

перемеще­

ния в этом интервале:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ t)=^ f

( '

— ■?-) Sin u, а - К)

_

 

 

P

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

__

— COS <01

+

— sin m t

-----— sin CO( t

— t) .

 

/П[Ш2

 

 

 

 

 

 

( О Т

 

C D T

 

 

Заменив

здесь

разность

синусов

по

формуле тригонометрии и

учитывая, что т\<а2=г, а

р

 

 

 

получаем

 

 

~ ^ = у СТ,

 

 

 

 

 

~ _ 2_

 

 

с о

т

 

 

 

 

Ун (*) =

Уст

s i n -

COS СО

— COS COt

(д)

0 ) Т

156

Н а й д е м м а к с и м а л ь н о е зн а ч е н и е п е р ем е щ е н и я у и ( t ) . Д л я о п р е ­

деления соответствующего

значения

tm возьмем первую произ­

водную от у ц (t)

по времени

(скорость)

и приравняем ее нулю, т. е.

d.Уп (О

2 ,

ют .

т

ш sin (t)t

= 0.

d t

------ sin 7 7 sin ш t

2

т

2

 

 

Здесь нулю должно равняться выражение, стоящее в квадрат­

ных скобках. Преобразуем его, заменив sin со по тригоно­

метрической формуле. Тогда, освободившись от знаменателя т, получим

 

юн

юн

юн

+ ш т sin ЮІ =

0.

 

— 2 sin 77- ( sin tofcos-g---- COStor Sin-^-

 

Далее объединим

слагаемые

по группам

и перейдем

от

поло-

винного угла

юн

 

 

 

 

 

к целому сот:

 

 

 

 

( ( D T — sin ш т ) sin юі - г (1 — C O S со т ) cos юі — 0.

Получим уравнение

 

 

 

 

tg wt = — 1 — C O S ш т

 

 

 

откуда определяем

 

 

 

ш т — sin ш т

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 —

C O S ш т

 

 

 

 

 

 

Ч * = arctg

— шт — sin шт

 

 

И, наконец,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

1

.

/

1 — cos ш т

JT

arctg

1 — C O S ш т

 

tm = — a r c t g ------——:------

2те

ш т — sin ш т

(е)

п

Ю

 

в

Ш Т sin— ш т

 

 

Входящее сюда в круглых скобках выражение отрицательное.

Поэтому при любых сот>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

/

 

1 — cos шт \

< те.

(ж)

 

 

 

77- < a r c t g

----------- ;-----

 

 

 

2

 

ь \

 

юн — s i n ЮН

 

 

 

Подставляя

 

найденное

значение

ш£т

в

выражение

(д)

для y n

( t ) , найдем

соответствующее значение уп тах. Оно оказы­

вается равным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

л

2sin«>T

2 ( 1 — cos шт)

(з)

 

 

 

 

'

1

'

”1~

 

m

 

УII max

 

V

 

 

С О Т

 

( ш

т ) 2

 

Чтобы определяемое выражением (з) максимальное переме­ щение впервые имело место после снятия нагрузки, необходимо соблюдение условия

I

arctg

1 — cos сот

(!)

шт — sin Ш Т

157

или, с учетом (ж),

t g СОТ >

1 — C O S сот

IDT ----- Sin <DT

Отсюда путем несложных преобразований получаем

ODT

>tg 2 ’

аэто условие, как видно из рис. 78, имеет место, когда

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

^-< 0,371

или

т < — Т.

 

 

 

 

Из

полученных

результатов

 

следует,

что

если

3

Т

 

т < - g -

т .

3 '

т0

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

( или у

<

g- ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уm ax .Уст

 

2 sin мт 2 (1— cos сот)

 

 

 

 

Y1

o n

 

( с о т ) 2

 

 

 

Такого

перемещения

система

впервые

достигнет

во

втором

интервале в момент времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

/

1

—

C O S сот \

>

Т

 

 

 

 

 

 

 

• a r c tg ------------ :-----

~г .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

сот

—

sin (ОТ )

 

4

 

 

 

Если т

3

/

т

з

, то

 

 

 

 

 

 

> — Т I или Y

> g -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Уст

1

 

arctg сот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перемещения такой величины система достигнет еще во время действия нагрузки (в 1-м интервале) в момент времени

2Т

^= — arctg (от < у

Определение эквивалентной нагрузки и динамического коэффициента

 

Подставив

полученные

значения yfflax

в формулу (7.1), на­

ходим

 

 

 

 

 

 

arctg сот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

=

Р 2

1

\

, если

т

3

 

 

 

 

 

----- 5----

/

> -ц- ;

 

 

 

-Ъ

1

экв —

1

1

СОТ

 

/ 8

^ 3

(7.31)

*р

 

1р m

Л

2 Sin

СОТ

, 2 ( 1 — COS сот)

, если

т

.

—

1 / 1 ------------------------------------

сот

 

(сот)2

 

-=г <

8

 

ѳкв —

 

У

 

 

 

 

 

Т

 

158

П о д с т а в л я я зн а ч е н и я Я экв в ф о р м у л у ( 7 .2 ) , п о л у ч и м

2 1-

arctg мх

если

,2 sin мт 2 ( 1 — cos m x )

1 ---------------- --------

^

--------- , если

M X

 

( с о х ) 2

T 3

'

(7.39)

x3

<-5- .

T 8

Из первой строки (7.39) легко получается результат, соответ­ ствующий случаю действия внезапно приложенной постоянной

С И Л Ы ( х = о о , /2 д = 2).

Таким образом, максимальное перемещение системы и в дан­ ном случае действия кратковременной силы может быть опреде­ лено по формуле

.Уmax — ^дУст>

(7.40)

Р

где Уст=^г, а значения динамического коэффициента, вычислен­

ные для различных отношений т/Т, приведены в табл. 3.

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 3

х/7

 

х/7

kA

?ІТ

 

0,00

0,000

0,8

1,453

1.7

1,723

0,1

0,310

0,9

1,506

1,8

1,738

0,2

0,602

1,0

1,552

1,9

1,751

0,3

0,853

М

1,587

2,0

1,763

0,371

1,000

1,2

1,618

2,5

1,809

0,4

1,051

1,3

1,645

3,0

1,839

0,5

1,197

1,4

1,(>69

4,0

1,879

0,6

1,310

1,5

1,689

5,0

1,908

0,7

1,392

1,6

1,707

ОО

2,000

Действие одинаковых по величине импульсов различной продолжительности

Сравним найденные максимальные перемещения утах, вызван­ ные действием кратковременной силы, убывающей по линейному закону, с перемещениями от мгновенного импульса, величина ко­ торого равна импульсу кратковременной силы.

Наибольшее перемещение у^ах от действия мгновенного им­ пульса S, как было установлено ранее, равно (7.34):

159

Смотрите также файлы