Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

При кинематическом воздействии кроме прочностного расчета конструкций необходимо производить оценку перегрузок, переда­ ваемых от конструкций людям и оборудованию. Эта оценка вы­ полняется путем сравнения максимальных значений абсолютных ускорений с допустимыми значениями, которые регламентируются техническими условиями.

§ 31. Действие силы, возрастающей по линейному закону до постоянного значения

Рассмотрим случай действия на систему с одной степенью сво­ боды силы, которая в течение некоторого промежутка времени ті возрастает от нуля до постоянной величины Рт, после чёго дей­ ствие ее на систему продол­ жается неограниченное вре­

мя.

хі

а для моментов времени t > ть которые будем называть «2-й интер­ вал»,

P ( t ) = P m.

Исследуем действие этой силы на систему, характеризуемую величиной сосредоточенной массы т и жесткостью пружины г и круговой частотой <о. Определим максимальное перемещение систе­ мы, эквивалентную статическую нагрузку и динамический коэф­ фициент.

Определение перемещений

Перемещение y(t) найдем по формуле (7.17), подставив в нее вместо Р(и) значение этой функции.

Полученные выражения для y(t) будут различными для пер­ вого интервала, когда происходит нарастание силы, и для второго интервала, когда эта сила остается постоянной.

142

Чтобы определить максимальное перемещение, исследуем ско­ рость движения массы в первом интервале, для чего найдем пер­ вую производную от у, (t):

dyx (t)

= — (1 — COS iät).

dt

В этом выражении от t зависит только cos at. Так как

— l^ c o s ü i^ l, то 1—cos о)^>0. Полученный результат указывает на то, что в первом интервале скорость не меняет своего направ­ ления. А это значит, что и перемещение массы в течение первого интервала происходит в одном направлении. Таким образом, вы­ ражение у х (t) есть монотонно возрастающая функция, не имею­

щая максимума. График этой функции показан на рис. 72.

143

нагрузки до момента времени, в который определяется у ,, (t), полу­ чим

Входящие в это выражение интегралы следующие:

Подставим эти'значения в предыдущее выражение. После при­ ведения подобных членов получим

где T — период свободных колебаний, a k —\, 2, 3 . . .

344

Чтобы максимальное перемещение было достигнуто во втором интервале, необходимо выполнение очевидного условия т, < tm.

Подставив сюда вместо tm его значение (в), получим

На основании (г) заключаем, что максимальное перемещение будет достигнуто во втором интервале впервые тогда, когда k бу­ дет равным первому целому числу, следующему за значением отношения Хі / Т.

С учетом (в) первое максимальное перемещение массы во вто­ ром интервале определится из выражения:

Исследуем в полученном выражении знак произведения

При нечетных k

cos Ы — —- 1, sin - у = sin п у >■О, так как ^ < k .

Следовательно, рассматриваемое произведение меньше нуля. При четных k

cos Ы — 1, sin - у = simr Y < 0, так как у < к.

И снова это произведение меньше нуля. Таким образом, при любых k второе слагаемое всегда отрицательное.

С учетом отмеченного обстоятельства выражение для макси­ мального перемещения можем записать окончательно в следующем виде:

-УіI шах ' 1 + sin (д)

Время возникновения максимального перемещения опреде­ ляется выражением

На рис. 73 показаны графики изменения y(t) во времени при различных длительностях нарастания нагрузки tj. Пунктирные линии на рисунке соответствуют первому интервалу, а сплошные — второму. Как видно из графиков, движение системы во втором ин­

тервале представляет собой колебательный процесс относительно положения, которое система займет при статическом воздействии

Определение эквивалентной нагрузки и динамического коэффициента

Зная утах, находим эквивалентную статическую нагрузку, ко­ торая на основании определения, данного в § 26, будет

Яэкв = О^гпах-

Подставляя сюда вместо утах его значение (д) и имея в виду

146

Из полученных выражений видно, что как эквивалентная на­ грузка, так и динамический коэффициент зависят от времени на­ растания нагрузки Ті и от периода собственных колебаний Т.

График изменения k& как функции xJT показан на рис. 74. На этом рисунке показана огибающая к графику кривая, которой практически пользуются при вычислении динамического коэффи-

циента, если т, — .

Аналитическое выражение огибающей на этом участке полу­

§ 32. Действие кратковременной силы постоянной величины

Пусть на систему с одной степенью свободы в течение про­ межутка времени т действует сила постоянной величины. График изменения этой силы во времени имеет вид прямоугольника, ко­ торый показан на рис. 75. В первом приближении можно считать, что так меняется давление в ударной волне. Начало отсчета вре­ мени совмещено с моментом приложения кратковременной силы.

а для моментов време­ ни t > X (2-й интервал)

Р ( 0 = о.

Исследуем действие крат­ ковременной силы на систе­ му, характеризуемую вели­ чиной сосредоточенной мас­ сы ти жесткостью г и кру­ говой частотой со.

Определение перемещений

Как и в предыдущих случаях, перемещение си­ стемы определяем по формуле (7.17), подставив туда вместо Р(и)

заданные значения нагрузки.

Выражения для y(t), найденные по формулам (7.17), будут различными для интервала времени, когда действует сила Рт, и для интервала времени, когда эта сила исчезла. Рассмотрим, от­ дельно каждый из этих интервалов.

p

Принимая во внимание, что mico2 = r, а - у — уст, можем напи­

Следует отметить, что максимального перемещения система впервые достигнет во время действия силы в первом интервале,

148