ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
если соблюдается очевидное неравенство
т. е. длительность действия кратковременной силы должна быть равна половине периода собственных колебаний или больше ее.
2-й |
и н т е р в а л (£>т). Обозначим |
перемещение массы во |
втором |
интервале через_уп (0- С учетом |
характера действующей |
нагрузки для уи (і) получим следующее выражение:
о |
р |
р |
|
||
Имея в виду принятое выше обозначение |
1 т |
1 1 |
|
^ = уст и за |
менив разность косинусов по тригонометрической формуле, оконча тельно получим
(г)
Из (г) видно, что максимальное значение уп (0 будет достиг нуто в момент, когда
Значение tm, при котором впервые уп (/) имеет наибольшее перемещение, определится из условия
и момент времени будет
(д)
Максимальная величина перемещения оказывается при этом равной
У II max |
^ S*n 2 -^ст' |
(e) |
Чтобы максимальное перемещение уІІтах имело место впервые во втором интервале {после исчезновения силы), необходимо вы полнение следующего очевидного условия:
из которого получаем т < |
. |
149
Таким образом, исследование перемещений системы |
в первом |
||||||
и втором интервалах приводит к следующему выводу: |
|
||||||
если |
т < - ^ и л и -£•<(),5 j |
, то ymax = |
2уст sin ~ , |
|
|||
такого перемещения |
система |
с |
одной |
степенью свободы |
впервые |
||
достигнет во втором интервале в |
, |
Т , |
г |
|
|||
tm = — + — ; |
|
||||||
если |
Т 7 |
т ' |
\ |
"■ |
4 |
2 |
|
X> -я- или -= > 0,5 |
, то _ртах = |
2уСТ, |
|
||||
которого система впервые достигнет в первом интервале в tm— Т
2 ’
б)
На основании полученных данных для перемещений на рис. 76 построены графики изменения у в зависимости от ЦТ для различ ных значений х/Т. На графиках пунктирными линиями показаны перемещения в первом интервале, а сплошными— во втором.
Определение эквивалентной нагрузки и динамического коэффициента
Определив у тах, находим для рассматриваемого случая дей ствия кратковременной силы эквивалентную статическую нагрузку,
150
которая, в соответствии с определением § 26, равна
Т^экв = ^Утах’ |
|
|
|
|
|
выражение |
вместо |
Ушах |
значения из (б) |
||
что густ = Ит, а ш = |
2т, |
, |
получим |
|
|
-J |
|
||||
9Р |
если |
■С> |
0 ,5 Г, |
|
|
тех |
если |
т < |
0,57. |
(7.31) |
|
2 sin -J Pm, |
|
||||
Динамический коэффициент в рассматриваемом случае
2, |
если |
т > 0 ,5 7, |
|
k„ |
если |
т < 0,57. |
(7.32) |
2 sin у , |
|
Таким образом, величина эквивалентной нагрузки, на которую следует рассчитывать систему с одной степенью свободы при дей ствии на нее кратковременной постоянной силы, и величина дина мического коэффициента зависят от-отношения т/7.
Значения динамического коэффициента при различных отноше ниях т/7 приведены в табл. 1.
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
т/Г |
кл |
Т/Г |
К |
т/7 |
Ад |
0,00 |
0,000 |
0,10 |
0,618 |
0,30 |
1,617 |
0,01 |
0,062 |
0,125 |
0,765 |
0,35 |
1,782 |
0,02 |
0,126 |
0,150 |
0,908 |
0,40 |
1,902 |
0,03 |
0,188 |
0,167 |
1,000 |
0,45 |
1,974 |
0,04 |
0,251 |
0,20 |
1,175 |
0,50 |
2,000 |
0,05 |
0,313 |
0,25 |
1,413 |
>0,50 |
2,000 |
Как видно, при малой продолжительности действия силы макси мальный эффект (максимальные перемещения и усилия) от ее дей ствия меньше того эффекта, который был бы при статическом дей ствии силы такой же величины. По мере возрастания отноше ния т/7 эффект от действия силы быстро возрастает.
Действие одинаковых по величине импульсов различной длительности
Рассмотрим, как будет меняться максимальное перемещение системы, если одновременно с изменением длительности действия кратковременной силы меняется и величина этой силы, но с таким
151
расчетом, что ее импульс, определяемый из графика (рис. 75) вы ражением
5 = Ртт, |
(7.33) |
остается постоянным.
При т->0 имеет место мгновенный импульс. Максимальное перемещение от его действия выражается формулой (7.11). Обо значим максимальное перемещение, соответствующее нулевой дли тельности времени действия силы, через у ^ ах. Тогда
= |
‘ |
(7-34) |
Найдем отношение максимального перемещения утах, возни кающего при конечной длительности времени действия силы и определяемое по формулам (б) и (е), к максимальному перемеще нию у^ах от мгновенного импульса такой же величины. Обозна
чим это отношение буквой k:
|
|
|
|
__ |
Л1max |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
ѵ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-^max |
|
|
|
|
Подставив сюда |
значения перемещений |
(б) |
и |
(7.34) или (е) |
|||||
и (7.34) и выполнив очевидные преобразования, получим |
|||||||||
при |
т>0,57" /или |
> 0,б '| |
, |
|
|
|
|
|
|
|
к _ . Ушах = |
2уст |
^ 2P J r |
_ |
2 Т |
_ |
Т |
||
|
Ушах |
5 / ОТ1® |
Pm™/r |
|
T-2ir |
|
(7.35) |
||
|
|
KT |
|||||||
при |
т < 0 ,5 7 | или f |
< 0,5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
k — |
Ушах |
2Уст sin — |
Т_ |
кт |
(7.36) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
Sjmx<s> |
•кт |
Sin |
-J, . |
||||
|
|
Ушах |
|
|
|
|
|||
Значения коэффициента k, вычисленные при различных отно шениях т/Г, помещены в табл. 2, из которой видно, что при воз растании т/Т от нуля до бесконечности коэффициент k убывает от 1 до нуля.
Зная коэффициент k, можно довольно просто определять вели чину утах по формуле
Ут.х = *У°т«- |
(7-37) |
Отсюда видно, что при одной и той же величине импульса двух кратковременных сил большее перемещение вызывает та сила, у которой время действия т меньше. Наибольший же эффект будет иметь место при действии мгновенного импульса.
152
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2 |
|
х/Г |
k |
т /Т |
k |
х,7 |
k |
|
0,0 |
1,000 |
0,9 |
0,354 |
1,8 |
0,177 |
|
0,1 |
0,984 |
1,0 |
0,318 |
1,9 |
0,167 |
|
0,2 |
0,936 |
1,1 |
0,289 |
2,0 |
0,159 |
|
0,3 |
0,858 |
1,2 |
0,265 |
2,5 |
0,127 |
• |
0,4 |
0,756 |
1,3 |
0,245 |
3,0 |
0,106 |
|
0,5 |
0,637 |
1,4 |
0,227 |
4,0 |
0,0796 |
|
0,6 |
0,531 |
1,5 |
0,212 |
5,0 |
0,0636 |
|
0,7 |
0,455 |
1,6 |
0,199 |
10,0 |
0,0318 |
|
0,8 |
0,398 |
1,7 |
0,187 |
00 |
0,000 |
Таким образом, при расчетах систем на кратковременную силу по мгновенному импульсу длительность действия этой силы учи тывается коэффициентом k. Как видно из табл. 2, при малых зна чениях х/Т коэффициент k мало отличается от единицы. По этому при т/Т ^ 0,3 расчет на действие кратковременной силы с достаточной для практических целей точностью можно, заме нить расчетом на мгновенный импульс соответствующей вели чины без учета времени действия кратковременной силы.
§ 33. Действие внезапно приложенной кратковременной силы, убывающей от максимального значения до нуля по линейному закону
Рассмотрим действие на систему с одной степенью свободы кратковременной силы, величина которой ме
няется в соответствии с графиком, показанным на рис. 77. Анали тическое выражение для P(t) в этом случае будет следующим:
Pm ^ 1— — для первого интервала (0
0 — для второго интервала (t > т).
Исследование выполним в том же порядке, что и в двух пре дыдущих случаях.
153
Определение перемещений
Как и ранее, перемещения будем определять по формуле (7.17), подставив туда выражение Р(и), соответствующее рассматри ваемому случаю. Тогда мы получим, очевидно, различные выраже
ния |
для перемещения |
y(t) |
для |
первого |
и второго интервалов |
|||
времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-й и н т е р в а л |
(0<Д<Д). Применив принятые выше обозна |
||||||
чения, будем иметь |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
( l - |
i ) |
sin » ( < - « ) Л |
- |
|
|
|
|
0 |
|
— I |
sin (ot |
|
|
|
|
|
— COS |
|
||||
|
|
|
|
|
|
T |
соt |
|
Учитывая, что mico2 = r, и обозначив |
|
получим |
||||||
|
УI ( 0 = |
Уст |
1 — COS СОt — |
I |
sin COt |
|||
|
т |
(Оt |
(а) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Уст — перемещение |
системы |
от |
статического |
действия на нее |
|||
силы, равной Рт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения максимальных перемещений исследуем полу
ченное выражение для у х (t). |
Возьмем от у х(/) |
первую |
производ |
||||||
ную по времени и приравняем ее нулю, т. е. |
|
|
|
||||||
dy{ (t) |
Уст ш Sin СОt |
|
COS Сot |
|
|||||
|
dt |
|
|
= 0. |
|
||||
Отсюда для определения моментов времени, соответствующих |
|||||||||
экстремальным |
значениям_у,, получаем следующее уравнение: |
||||||||
|
|
сот sin со£ — |
1 + |
cos «>t= |
0. |
|
|
||
Преобразуем его, |
заменив |
|
|
|
|
|
|||
, |
„ |
. со£ |
№t |
и |
1 — cosco^ = |
2 sin2^ |
|
||
sin cor = 2 sin “2 cos |
|
|
|||||||
Вынося 2 sin -у |
^a |
скобку |
и |
сокращая |
на два, |
приходим |
|||
к уравнению |
^ |
СО^ |
|
|
wt |
шt |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
8Ш 2 |
сот cos |
— sin |
= о, |
|
||||
из которого найдем два семейства корней (ät.
Вначале приравняем нулю выражение в круглых скобках, т. е.
(ot |
О)t |
сот cos - |
sin 2 — 0. |
154