Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

колебаний с частотами сог- и ®у-. Перемещения масс в каждой из этих форм определяются соответственно:

Укі =

А kj sin («о/ +

Ту) = A njpkj sin (<djt +

ту);

Уkt =

А ki sin К * +

Ti) -

sin (<•>,* +

Ti)-

, Упругая система во время

свободных

колебаний будет иметь

в качестве внешних сил инерционные силы масс, величины кото­ рых в каждой из форм колебаний соответственно равны:

 

Л / =

mk^iA hj sin (<*>/ +

Т/) =

ЩЩУк/,

 

 

Применим

h i =

mA

A ki sin К * +

Tz) =

mk(S>hk r

 

 

теорему

взаимности

работ

к двум состояниям

■системы:

 

 

 

П

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ЛуУб/ ~

“ АкіУkj-

 

 

 

 

 

 

 

 

6=1

6=1

'

 

 

 

 

• Подставив

в левую

и правую

части равенства

значения

сил

инерции, получим

 

П

 

Я

 

 

 

 

 

1 •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 т^іУкіУы =

2 mkhlyklykj.

 

 

 

 

6=i

 

6=i

 

 

 

 

 

Перенесем все члены в левую часть и вынесем

из-под знака

суммы величины,

не зависящие от k. В результате будем иметь

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ф) - о?) 2 mky kiykj =

0.

 

 

(3.9)

 

 

j-hi

б=і

 

 

 

 

 

 

Так как при

то

равенство

(3.9) возможно,

если

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е ЩУиУьі =

0-

 

 

(3.10)

 

 

 

 

б=і

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует,

что

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

2 Jkjyki = S v)mkykJyu = 0;

Zz = X

ft = l

яя

2 ЛгУбу = S 4Щ УЫУЮ= 0.

б=і б=і

Таким образом доказана ортогональность главных форм коле­ баний.

Равенство (3.10) выражает условие ортогональности главных форм. С учетом значений перемещений ykj и у ы оно может быть записано в другой форме:

Я

(при ] ф і).

 

^ w6P6yP6/ = 0

(3.11)

б=і

 

 

36

Свойством ортогональности главных форм колебаний пользу­ ются при разложении произвольной внешней нагрузки в ряд но главным формам колебаний.

§ 10. Общее решение системы дифференциальных уравнений свободных колебаний

Введенное понятие главных форм колебаний позволяет пере­ мещения упругой системы в процессе свободных колебаний с про­ извольными начальными условиями рассматривать как сумму перемещений по главным формам.

Преобразуем выражение (3.7), заменив в нем А к найденными значениями отношений рк и амплитуд А п:

П

Ук= 2 р*ия<sin((•>,*+ъ).

(3.12)

і= 1

 

Это и есть общее решение системы дифференциальных урав­

нений

(3.3).

 

 

 

 

ѵк движения

Первая производная по

времени дает

скорость

массы

тк.

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

= v k =

 

S

рйИ л/“/ cos ( V

+ ъ)-

(3.із)

 

 

 

 

1

 

 

Вторая производная по времени дает ускорение

 

 

d*yk

 

П

 

 

 

 

2

PaA.*®* sin

-J- y,).

(3.14)

 

dt2

 

 

 

 

 

 

/=1

Индекс k во всех выражениях (3.12—3.14), как и ранее, озна­ чает номер массы и принимает значения от единицы до п. Индекс і означает форму колебаний и также меняется от единицы до п.

Входящие в выражения (3.12) —(3.14) величины, А пі и нахо­ дятся из начальных условий:

при t = t Q

Уи = Уао и ѵк = ѵк0,

(3.15)

где yÄ0 и ѵм — перемещение и скорость движения

масс тк в на­

чальный момент времени to, с которого начинаются свободные ко­ лебания.

§ 11. Примеры исследования свободных колебаний

Пример 4. Невесомая балка с двумя симметрично расположенными равными

сосредоточенными массами mi = m2 = M,

a — lj4 (рис. 18, а).

А. Определение частот свободных колебаний.

Составляем уравнение частот (3.16)

 

(« А і — X)

m2512

™1821 («2822 — >■)

37

т , - М

т = М

а )

 

а *а I --------------

 

' f i l l**

 

аг - ^ - а

 

*к

Рис. 18

38

Раскры в определитель, получим

 

(^1^11 — X) (^2^22 — X) — ^1^21^2^12 " ^

(а)

или

X2 — (^1^11 “Ь ^ 2^22) X“Ь ШуЛІ2(^11^22 — ^12^21) “

0.

Таким образом, уравнение частот является уравнением второй степени отно­ сительно параметра X. В рассматриваемом примере:

—по условию задачи mi = m2 =JW;

—по условию симметрии 6 11 = 6 2 2;

—по теореме взаимности перемещений 6 12 = 6 2 1. Кроме того, по существу задачи 6і2 >0.

С учетом отмеченных равенств уравнение частот принимает вид

Х2 — 2М8ПХ + И 2 (8jj — Ьи2 ) = 0.

Корни этого уравнения имеют следующие значения:

Х4 = М (8И + §і2); Х2 = М (8И — 812).

Из соотношения Х =-і- определим частоты свободных колебаний системы:

- ■---1

! (Ол = --- ■1■' 11

.

61 (8П + й12)

"КМ (8u — 812)

 

Единичные перемещения 6 определим по формуле Мора.

Интегралы, входящие в формулу Мора, вычислим по правилу Верещагина. Необходимые эпюры моментов построены на рис. 18,6 и в:

I

-172 dX

З/з

 

I

7/3

-J

5„ =

- — d x

М\ш

: 256£/ ’

MiM2 ЕІ — 7б8£/ .

 

-

J

 

о

 

 

 

о

 

Подставив в формулы для частот колебаний значения 6 ц и 6 і2, получим

1/ШЕІ

1 /з Ш Г

6,1 V М /з

’ " 2 "" V М /з

Б. Определение главных форм колебаний. Составляем систему уравнений (3.8):

(m1S11 — X) р! + т 25і2 = 0, |

т 1^2іРі +

— X) = 0, /

At

- здесь pi = —/• — отношение между амплитудами колебаний масс.

A4

Из первого и второго уравнений соответственно получим

о =

—

____^ 2822 — X

Pl

mi\x —X Pl

/wt8al

Значения рь найденные по разным формулам, будут одинаковыми. В этом можно убедиться, если воспользоваться раскрытым видом определителя (а).

Рассмотрим первое уравнение, из которого, с учетом равенства масс, найдем

=А1812-

Pl

M8U — X '

Подставляя в это выражение значение Хь получаем

М812_______

Рп= - М8ц — М (8а + 812)

39

Подставляя значение А,2, получаем

= ________ MS12______ __ _ j Pls _ MSn - M (8n - 612)

Из этих результатов следует, что при колебаниях системы по первой форме, совершающихся с частотой Мі, имеем следующее соотношение амплитуд: А ц = А г1. Вид колебаний показан на рис. 18, г.

 

Перемещения масс определяются выражениями:

 

 

для

массы ту

 

 

 

 

 

Уи = А п sin (<о^ + 7 і) = рцИ21 sin {u>it +

fj) =

As1

sin (co^ + Yi),

для

массы т2

 

 

 

 

 

 

уп = Ап sin (a>j£ +

Yi).

 

 

 

При колебаниях системы

по второй форме,

совершающихся с частотой <й2,

А ,г= —Л22. Колебания имеют вид, представленный на рис.

18,0.

 

Перемещения масс находятся из выражений:

 

 

для

массы т і

 

 

 

 

 

Уі2 = а і2 sin (o>2( + ъ )

= р12Л22 sin (o>2t +

Ys) =

— A22sin (o>2* + y2),

для

массы m2

 

 

 

 

 

 

y22 — А 22 sin (u>2( +

7 г)-

 

 

Таким образом, первая форма колебаний — симметричные колебания. Ампли­ туды для масс т\ и т2 равны по величине и по знаку. Колебания — низкой частоты. Вторая форма колебаний — обратно симметричные колебания. Ампли­ туды для масс т\ и т2 равны по величине и обратны по знаку. Колебания — высокой частоты.

Для возникновения той или иной формы колебаний необходимы соответ­ ствующие начальные условия. В общем случае будет происходить наложение форм колебаний, каждой со своей амплитудой и со своей фазой колебаний.

В. Получение общих уравнений движения.

Уравнения свободных колебаний масс, описывающие их общее движение, найдутся на основе (3.12) как сумма движений каждой массы по первой и вто­ рой главным формам:

Уі = Уи + Уп = А 21 sin К * + Yi) — А22sin (ü>2t + y2);

^

У-2 = Уп + У22 = А21 sin (<Ѵ + 7і) + А22 sin (о>st + Ya)-

Скорости движения масс будут определяться следующими выражениями:

Ѵі =

м і А 2і

c o s

( u>i ^ +

Y i)

—

Ш2А 22c o s

(to2i

 

y 2)>

v 2 =

( « И з 1

COS ( c o ^ +

Y i)

+

“ 2A 22 c o s

(<02f

+

Y a)-

Входящие в эти выражения

неизвестные величины Л2 і,

А22, Yi и Ъ опреде­

ляются из начальных’условий. Пусть в начальный момент времени заданы на­

чальные смещения масс и их скорости, т. е.

 

при t = 0 у! = у10, у3 = _у20, Ѵ\ = ü10,

v 2 = v 20.

 

Введем эти условия в формулы (в)

и (г):

 

А2і sin Yi — А22sin Y2 =

Уіоі

A2i sin Yi + A22 sin y2 =

y2oi

“iA21cosYi — «2A22cosi2 = v10;

“iA2i cosYi + w2A22cosY2 = v2q.

4 0

Смотрите также файлы