Файл: Магалинский, В. Б. Методы статистической теории равновесных состояний.pdf

ыа и ее однопараметрическая модель

Вариационный принцип II,Н.Боголюбова, основан на неко­

торых свойствах так называема в ы п у к л ы х

функций,

' функция

LJ ($=) называется выпуклой,.если

ее вторая

производная

з н а к о о п р е д е л е н а .

Следователь­

но, выпуклая функция пѳ имеет точек перегиба,

и ее график

через-произвольную точку

, і/СЦ)).

Это означает,

что если, например,,

l-j11 (*=)>Ot

то

' / ( Ю С а - ? )•

f *-I)

Будем теперь рассматривать

^

как

случайную ь".личину,

распределенную с

плотностью вероятности 'ІО '(ё).

Тогда усреднял (4,1)

по распределению 'кУСЮ и обоз­

начая

средние

чертой

сверху

или,

если

это удобно,

угло­

выми скобками

,

получим

о

- . Y ( % l s 4 j ( s ) > ^ C f ) .

•

C M )

В частности, если

l ^ ( l f ) = в Л 'р е ;

, то

о

■г ..

< ( е л р ^ >

>

е л

p W -

.

С4.2')

Беля

^

О

,

то

в неравенстве (4 .2 )

следует

изменить знак. Знак

равенства реализуется, очевидно,,

для линейной функции

tj ( g )

при произвольных.

и

для произвольных

^ ( ? ) .

если tO '( ? ) =

8(Х>~ Щ),

т..е.

если

величина

%

детермирована..

.

. . . .

Рассмотрим

р е а л ь н у ю

с и с т е м у

( в

даль­

нейшем сокращенно Р.С^,

свойства которой нас интересуют..

Эта система имеет функцию

Гамильтона И (Х )(Х

- все

канонические переменные )

и находится в равновесии при

температуре

|

=

,

Тогда статистический интеграл Р.С. равен

2

=

е Л р ( - р , ^ )

= ^ р [ - р Н

( Х ) ]

с (Х .

(4 .3)

Наряду с Р.С.

рассмотрим вспомогательную

систему,

кото­

рую назовем

м о д е л и р у ю щ е й

с и с

т е м о й ,

или

м о д е л ь ю

( в

дальнейшем сокращенно М.С).

М.С,

опи­

сывается теми же каноническими переменными,

что и Р.С».,

.шход^тся в тех же внешних условиях,, но имеет более прос-г

тую функцию Гамильтона,' . ,

которую обозначим черевН

(X,«)

(модельный гамильтониан).

m

Здесь

с і

-

совокупность параметров

модельного га­

мильтониану,

называемых

п о д г о н о ч н ы м и , или

в а р и а ц и о н н ы м и ,

параметрами, поскольку их ве­

личина находится в

нашем распоряжении. Это может быть,

например,, совокупность

п а р а м е т р о в

в з а и м о ­

д е й с т в и я

М.С. Все необходимые для наших целей

свой­

ства

М.С. предполагаются

и з в е с т н ы м и .

Функции,,

относящиеся к М.С.7 будем отмечать индексом

" № ".

С помощью тождеств преобразуем (4 .3 ) к виду

■ г = z ^ x p t - р (н - H J ]< e < p P p H Bw x .

= '£ rn( e x p [ - p ( H - H „ 1) ] ) m

I

где отмеченное индексом ” ^

" усреднение ведется по ка-

. ионическому ансамблю М.С,.

В силу неравенства (4 .2 ')

Z

> Ъ

Р.[- Р {<н>т ~ Ет\) ,

(4.4')

где

Е m ~ < (И

rn) m

-

внутренняя

энергия М.С„ Лога­

рифмируя

(4 .4 ')

и учитывая (4,3) получим -

=<H>m- T S m.

<«.*>

8десь S m - энтропия M.U

.Неравенства (4 .5 )

и (4 .6 ) выражают иэвеотноѳ. в к-

с т р ѳ м а л ь н о е

о в о й с т в о потенциала о!во-

нимизирует функционал свободной^ѳнергіш.

Мажорирующий функционал

У

зависит от внешних

параметров,

например,

от

температуры

Т

и объема V *

а

также от вариационных

параметров

С<

, Поскольку термо­

динамические функции М.С.

, Е м

,

S m i ß также

средние по аноамблю М.С,,

предполагаютоя извесщяуми,, то

У

является известной функцией Т ,

У

и о( ,

(Г>V) <*)•

Бйд функции

У

определяется выбором М.С.,

т .ѳ . ѳѳ

гамильтонианом

Б^деы аппроксимировать овободную энергию Р.С». функци­

ей

і р

,

стремясь к

тоцу,

чтобы допускаемая при этом

о ш\и б к

а

б ы л а

н а и м е н ь ш е й .

Тогда

Lp * rn én У ( Ѵ , Т ) < * ).

(4 .7 )

оі

Следовательно,

оптимальные'значения параметров

модели,

равныя о< ( г ,

V ) , определяются чз уравнения

•

= 0,o<=5(T,V);(4.8.)

т,ѵ

принтом должны быть выполнены условия

м и н и м у м а

у

.

■

■

«

Изложенная процедура составляет

содержание

в а р и ­

а ц и о н н о г о п р и н ц и п а Б о г о л ю б о в а

в

статистической механике (квантовое обобщение

(4 .5 )

называют иногда вариационным принципом

П а й е р л с а -

Б о г о л в б о в а ) .

Таким образом,

в а р и а ц и о н н ы й

п р и я -

ц и п Б о г о л ю б о в а

я в л я е т с я

к р и т е ­

р и е м о п т и м а л ь н о го о п и с а н и я

с э о й с т в р е а л ь н о й

с и с т е м ы

(Р.С^.

о

п о м о щ ь ю м о д е л и р у ю щ е й с и с т е м ы

(м.о.у

При атом свободная внергия Р.С„ равна

^

= tnln ?

(т, V; С< )- $

[т,Ѵій Ст,Ѵ)1.(4.9)

*

о і

В этой главе,, так же,как и в остальных,, мы будем

рассматривать в качестве

реальной

оистемы п р о с т у ю

с и с т е м у . Таким образом,

простая система есть

сово­

Простая система имеет

д в е

термодинамические сте­

пени. свободы,, которымсоответствуют

д в а внешних пара­

метра.

В качества одного из

них.,

вместо объема V

іыбврем

связанное с ним средней расстояние.

L> между ближайшими

частицами.,

t/5

, / а

~ і/а

СМ»)

L

= ( V / N )

а ЯГ

= § .