Файл: Магалинский, В. Б. Методы статистической теории равновесных состояний.pdf

бор моделирующей

системы (М .С.). В качестве М.С» выберем

систему, которая удовлетворяет следующим требованиям:

I.. М.С,. имеет только о д н у термодинамическую степень

свобода и,

следовательно* описывается гораздо проще*

чем Р.С.

; во

всяком случае,, все необходимые характе­

ристики М.С,

считаются известными ;

обычном

термодинамическом смысле..

Такую систему назовем о д н о п а р а м е т р и . -

ч е с к о й

м о д е л и р у ю щ е й с и с т е м о й

действующих: по

и н в е р с и в н о м у закону

ф

{ ъ ) == £ 0 ( а о / г ) т

-(1 .3 9 )

£

« Г

-

'

, °

Йо

т е о р е м е К л е й н а , доказанной в &5 г д .і,

все термодинамические функции такой системы существенно

зависят

только

от

о д н о й переменной

О/,

.Поэтому

система с

взаимодействием (і,3 9 )

действительно

является однопараыетрической. Из теоремы Клейна,

а так—

из простых, соображений

подобия и. размерности следует,

чтв радиальная функция М.С..С? ' ( х ) должна иметь

следу­

ющий вид:

^

= G -m ( Ѵ О ) -

О - п )

Таким образом, имеется однопараметричеокоа семейство

функций 0\'т

. которые моделируют микроструктуру реаль­

ного

вещества^ и

' но формулам ( 3 Л V ) и (З Л З )

из гл.Ш

§1

описывают его термодинамические свойства*. В условиях

канонического ансамбля, т,0 , при фиксированных

[ , и Т ,

перемеішая

(J.

, как единственная функция параметров мо­

моделировании

Будем сравнивать Р.С. и М.С..,

которые

имеют одинако­

вые: значения внешних, параметров L

и Т

, т?е. подчи­

няются каноническому распределению Гиббса»

В термодинамических, функциях. Р.С. и М.С., выделим

гаэокинетипеекую

и конфигурационную составляющие так»

как біо

сделано

в

конце

§2 из г л .І

(формулы (г . 18) »• .

( l . U ' -

ІЛ&О,-

( ІД 9 ) .

Так как соответственные газокя- ,

Боголюбова (4 .5 ) принимает ввд

0

/ - М

' Ф

' И

’,,,

+

( < Ф

> т

- О

, ^ 4 . 5 0

где

ф

определено

в

(іЛ В ). у

'

< ф >

- удельная анергия взаимодействия Р .С ,,

усредненная

по каноническому ансамблю Ы.С.

Она определяется форму­

лой

( З .І іО

,

где

К s ' <(ф ^

(

Cj — Cj^»

Сделаем в. ...

( a .I lO jB соответствии

о

(4 ,1 1 )у замену переменной инта*~

грировадшя

R

= Ъ/L

(4Л2К

Подотавляя

( 4 , І і ) и (4 .1 2 ) в ( З . І І 1) , получим

осэ

< Ф >

2 w ^ f L R ) G m (R,:i)[fda (4ЛЗ)

( З .І іО

где U --U m , Ф

= ф 1^

, О = g m , Аналогично

(4 ,1 3 ) для нѳв получается

0

2

и

00

:(R,3)R dR.

С4Л4)

принимает(Ь,3)вид,,-2ттаналогичныйф (LR)&(4.6)

m

o

m

m

(4 .6')

Согласно ( l . I 9 ) 4m =

и неравенство

Фй

?

( L ,T ; 3) =

(4 .16)

- < Ф > т (ь.з)

-т*т (П

Существенно,

что

согласно

теореме Клейна

конфигу­

рационная энтропия М.С. зависит

т о л ь к о

от

вариаци­

онного

параметра

3

(формула

( I .4 I )

из

§5 г л . І ) .

При этом зависимость

б"т

( У ) определяется уравнением

состояния выбранной М.С.

и,так

же,

как <С<ф>

^предпола-

гаетоя

известной.

Единственным параметром, который можно варьировать

{_,

И

Т

I является параметр У

-

он

иггает роль

Подгоночного

параметра

сК

в (4 .7 )

-

(4

.9 ) ►Подобно

'(4 .8

)

, оптимальное

значение

параметра

tJ,

равное^ (|_,Т)

Является корнем уравнения

D ^ ( L

,Т і б ) / Л ] , = 0 ,3 - 3 (L ,Т). С4.8')

1

I—Д”

т е м ы равна

л г-

4- = men 4

(1 ,т Л ) = ф [ ь ,т л а,т)].(4 .^

В дальнейшем исследовании условия ( 4 .8 0 нет

необхо­

димости, поскольку при его выполнении, согласно

( і.І б ')»

(4 .1 5 ) и (4 .8 ')

удельная

конфигурационная энтропия

для Р.С. равна удельной конфигурационной энтропии для

М.С.:

Ö = {

-

[ к т і

A~T\l= 6 m (0).(4Л6)

Тем самым нами доказана

еле,дующая т е о р е м а о б

' о п т и м а л ь н о м о д н о п а р а м е т р и я е - с -

к о м м о д е , л и р о в а и и и :

Теорема I .

П р и о п т и м а л ь н о м (в

смысле вари­

ационного принципа Боголюбова )

о п и с а н и и

п р о с т о й р е а л ь н о й

с и с т е м ы

(системы с

д в у м я

термодинамическими сте­

пенями свобода )

о д н о п а р а м е т р и -

, ч е с к о й

м о д е л ь ю (

системой

с

о д ­

н о й т е р м о д и н а м и ч е с к о й

с т е п е н ь ю

свободы ) к о н ф и г у р

а-

ц и о н н н е

э н т р о п и и р е а л ь ­

н о й с и с т е м ы и м о д е л и р а в -

н ы.

П р и

э т о м о п т и м а л ь н о е

о п и с а н и е

о с у щ е с т в л я е т с я

р а д и а л ь н о й

ф у н к ц и е й ( 4 . I I )

*3 ( Ъ ) ~

~

(4 .17)

(Формулы ( 4 .І І ) ,

(4.16)

и (4.17) показывали?, каким

образом следует расширить

о д н о м е р н о е

простран­

ство

термодинамических состояний М.С..

(пространство

пе­

ременной (J ) до

д в у м е р н о г . о

пространства

тер-

модинамических состояний Р.С.. (пространство переменных

L . 6 - ) .

.

Конфигурационная энергия

и конфигурационное, дав­

ление

р

находятся по формулам

( і. 1 4 ')»(і. ІДО

и

(4 .9').

Подставляя

(4 .13)

в (4.15.)

и дифференцируя

согласно

15-896

ИЗ