Файл: Магалинский, В. Б. Методы статистической теории равновесных состояний.pdf

Я a s = e * P W

i v

< - е '

а

• С6-20)

Согласно (Ь.В)

\ / ( п )

зависит

только от

полных чи­

<__I

1 (ң) =^L.exp[-aVfnl+2IX п

]П (п

І),'(6Л9')

о

{nsS

s

s .

где

A s ( y ) = & i q ;

(5.20 й)

Сумма Z . 0 ( ^ ) есть статистическая сумма

т в е

р ­

д ы х

с ф е р ,

находящихся под действием внешнего поля

U

= - T Â s f y ) .

(5 .2 0 )

твердые сферы реагируют на

s

При этом согласно

в н е ш н е е

электрическое

поле, как

з а р я д ы ,

но

между собой в з а и м о д е й с т в у ю т

только, как

т в е р д ы е с ф е р ы .

В этом смысле можно сказать, что

С1^ ) есть

ста­

тистическая сумма заряженных твердых сфер,

помещенных в

дополнительное электрическое поле с чисто

м н и м ы м

потенциалом

=іи .

ф "

(5.22 )

T S

J S

Таким образом, преобразование (5 .1 2 )

позволило

выде­

лить кулоновское взаимодействие и описать

его, как

с л у

ч а й н о е

в н е ш н е е

п о л е ,

действующее на куло­

новские

не взаимодействующие

между собой

протяженные за­

ряды.. Преобразование (5 .1 2 )

в

теорию кулоновских: систем '

впервые

ввел

Э д в а р д с..

Теперь от дискретны/, ячеек перейдем

к к о н т и -

н у у му . Для это^о размеры

ячеек

следует

устремить к

нулю,

а интегральные суммы заменить интегралами по объе­

му. В

результате очетно-мерный

интеграл (5.15) перейдет

в так

называемый к о н т и н у

а л ь н ы й интеграл.

При этом

следует

понимать как пре

дел (5 .17) , причем нормирующий множитель

перед

произве­

дением дифференциалов является термодинамически

не суще­

ственной константой.

Выясним предельный

смысл обратной матрицы взаимодей-

Таким образом,

С ' - линейный

оператор для функции Гри­

на

С •

’Зсли,

согласно (5 .1 )

„ ( b . 2 ) Q ( z ) = 0

/"Z , то

как

ИР'вастяп.

°где

Д _ ,

-

оператор Лапласа.

°

Условие

(5 .1 4 ) , как интегральную свертку,

удобно

представить

с помощью преобразования Фурье

Можно сказать' поэтому, что

в представлении Фурье ма­

трица взаимодействия становится диагональной.

Если С ( ъ )

= е*/г

, то сГк - Ане /к

что

согласно (5 .2 5 )

снова

приводит к

(5.23) .

Подставляя (5.23)

в

(5 .1 6 ),заменял суммы по

S

ин

тегралами по объему и используя теорему Гаусса

с учетом

того, что

на границе

поле Lj ( z )

исчезает,

получим

(5 Л 6 ')

что представляет энергию электростатического поля.

Таким образом,

в

(5 .1 5 )

поле IJ (~Е) распределено

ка­

нонически, по Гиббсу, с плотностью вероятности

ЫІЧ (г)} = ехр{Л уyij ГО]%ІѴ}.

(5.26.)

Поэтому^результат (5 .15)

с

учетом

(5 .18)

, (5 .19')

можно представить

в виде

' Т

'

=

/

"А1,

(и ) \

у 1

(5.І51)

1

\

с

о VJ

/

где

- статистическая сумма,электрически

не

взаи­

модействующих заряженных твердых сфер во внешнем элек­

трическом

поле lL j( r )( c p ,

(5.22))

или во

внешнем сило­

вом поле U ( т ) = ~ТА ( £ )(ср .

(б.20")„

(5.20') ;

(5.20))

,

Усреднение ведется

по

с л у ч а й н о м у

электричес­

кому нолю

LJ ( £ )

с

весом

(5.26.),.

суммы в. виде континуального интеграла

(5 .1 5 ) .

Мы рассмотрим два приближения -

п р и б л и ж е ­

н и е с л а б о г о

в з а и м о д е й с т в и я и

в следующем параграфе - к в а э и х и м и ѵ е о к о е

п р и б л и ж е н и е , ■

В приближении

слабого взаимодействия поле Lj (z.) ,

19-896

№

н ы й

р я д М а к л а р е н а

но степеням IJ ( ъ )

. Оог-

ласно

§4 из гл.Ш коэффициентами этого разложения

будут

м н о г о т о ч е ч н ы е

к о р р е л я т о р ы

с и с ­

т е м ы т в е р д ы х

с ф е р ,

для которых А üfij) явля­

ется

п р о и з в о д

я

т

# ( ф у н к ц и о н а л о м .

Эти коррелятерц;

в

свою очередь, могут Оыть представ­

лены . в . и р и а л ь н н м

р а з л о ж е н и е м (гл . ІИ»

функциональной

переменной интегрирования 17 ('Z) использо­

вать ее фурьекомпоненты.

На этом основан

так называемый

м е т о д

к о л л е ­

к т и в н ы х п е р е м е н н ы х ( Б о м , П а й н е ,

З у О а р е . в

и другие ) .

Вычислим в приближении слабого взаимодействия двух­

частичную радиальную

функцию распределения для двухком-

понентной системы

т о ч е ч н ы х

ионов,.

Из §2,. гл.Ш

мы

знаем,

что д в у х ч а с т и ч н а я

ф у н к ц и я ^

( і )

"ронорциинальна статистической

сум­

ме, вычисленной при-наличии

в н е ш н е г о

н о л я ,

образованного двумя ионами,

фиксированными в точках

Z ,

нальности определяется из условия-

о с л а б л е н и я

к о р р е л я ц и й

' г

. IZ -* 00

(5.26-0

Это означает, что

потенциал такого

поля [умноженный на

величину

элементарного

заряда

Б?');

Lp' , входящий в

( 5 .7 )

и (5 .20)

, равен

^

е I С S>

Г

^2 .

S2.

(5.27)

и.

Для даухкомпонентной системы ионов (плазмы)6 = t

в силу условия

нейтральности (5.Н) N ^ - N_ -

N

/ 2 ,

+( с

заряженных ионов равны : L1, -

|t|_

-

^Іі

. Тогда

из (5.20)

я (5.20’)

-

1 +

ß ll'

9 s

=

2

е

"

X X

p f 'P s '

-'

L y s Q ,

( 6 ’2e)

где

*2 =

- а

к т

и

в

н

о

с т

ь

(см.

(.1.48)) .

Так как ионы предполагаются

т о ч е ч н ы м и ,

то

в (5 .1 9 ')

Ѵ (П )

= О

и

из

(5 .1 9 '),

(5 .2 0 "),

(5.18)

и

(5 .2 8 )

(при

11^ = 0 )

следует

Л 0 Ы

=

! ■ № ' + a J s '0 .fe .2 9 )

ü

(b,29)

и в интеграле

(5.15)

сделаем замену пе­

ременной интегрирования согласно

IJs — Х^Т і (((/. Б случае

слабого взаимодействия

мало,

и

(5 .29) можно разло­

жить в рад по степеням

„ ограничиваясь малыми, до вто­

рого

порядка включительно. Коли к тому же учесть

(5.27),

(5..І6)

и (5 .1 4 )

,

то

из

(5.15)

получим

ехр

г

Е С

-

L

ß E

S

l f ~ ) cJX„ ( 5 . 3 0 )

X Xi' - I ь ■sJ &

*’

где

SS'

SS'

s

*

c .S'

c s v

h .

:

(5.31)

c

Ss,

-I-

e

- J .

^

Ü

4

Sr t ~ ^ , ° S I ■| .

U S2

Очевидно,

-

шлотность заряда двух

фиксированных

источников.

Б формуле (б;30)

опущен множитель,

не зависящий от

координат

^

р , -

он определится впоследствии из ус­

ловия ослабления корреляций (5 .2 6 ').

Интеграл (5.30) -

г а у с с о в с к и й

и выяв­

ляется с

помощь© (5 .1з)

,

где

следует

заменить С

на

С

,

О

на

(5S

. В результате,

учитывая (5.32)

,

получим

S

(г) = ехр[--|}е1егССг)].

Се.зз)

F