Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
2.3. Ошибки измерения параметров сигнала, связанные с его флюктуациями и наличием фона
Начнем с рассмотрения оценок для числа квантов сигнала М, считая, что оценка'производится по результа там ряда независимых регистрации числа квантов /2|,...
..., а,.
Для распределения (2.2.1) в общем случае оценка максимального правдоподобия определяется сложным трансцендентным уравнением. Однако при большом от ношении сигнал/фон (это условие должно выполняться для достоверного обнаружения сигнала) оценка мало отличается от выборочного -среднего /7. Дисперсия оцен ки очевидным образом связана с дисперсией распределе ния (2.2.1) (см. (2.2.2)):
< £ = J - [М ( 1 + 2N) + |
mN (I + |
AT)], |
(2.3.1) |
||
где ^ о з н а ч а е т оценку. |
|
|
|
|
|
Для отрицательно-биномиального |
распределения |
||||
оценка определяется формулой |
|
|
|
||
М = |
О |
при |
п<тМ |
|
(2.3.2) |
|
|
|
|
||
и |
mN |
при |
/i^>mN. |
|
|
•Поскольку для получения малых вероятностей пропу |
|||||
ска и ложной тревоги |
должно |
быть p(ü^inN) |
<^\, то |
можно, ограничившись соответствующими уровнями сиг
нала, при |
расчете |
дисперсии |
использовать |
равенство |
М = п—mN |
при всех |
п. Тогда |
дисперсия определяется |
|
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3.3) |
и совпадает |
с дисперсией эффективной оценки. |
|||
При рассмотрении оценок неэиергетических парамет |
||||
ров сигнала |
ограничимся способами оценки, |
в которых |
tиспользуется совокупность одновременно измеряемых квадратичных функционалов поля. Пусть оценка выра
жается формулой
l |
Fm)< |
(2.3.4) |
82
где ß — оцениваемый |
параметр, |
Fi,...,Fm |
— квадратич |
||||||
ные функционалы |
поля. При уровнях сигнала, |
достаточ |
|||||||
ных для его обнаружения, |
обычно |
можно |
при вычисле |
||||||
нии ошибок |
линеаризовать |
функцию |
(2.3.4) по Fj (j = |
||||||
= l , . . . , m ) . |
Тогда |
для |
дисперсии |
оценки, |
используя |
||||
(2.1.31), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dFj |
äFh |
|
_ |
|
AF^Fk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dFi |
âF |
|
yU) |
yW |
(2.3.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсия ошибки, найденная с учетом квантовых эффектов, отличается от классической дисперсии вели чиной, являющейся линейной функцией средних чисел квантов /гѵ в модах, при переходе к которым все функ ционалы диагонализируются, и квадратичной функцией весовых коэффициентов в диагональном представлении
Рассмотрим полезный для дальнейшего частный слу чай, при котором все Fj являются линейными комбина циями простейших одновременно измеримых и статисти чески независимых квадратичных функционалов Фѵ, об разующихся в результате умножения принимаемого сиг нала у (г, со) на опорные сигналы g"*v (г, со), интегриро вания и перехода к интенсивностям:
ѵи) Ф =
= |
2 ° " ' |
ij d »J*M r - m )0( r - m ) d r |
= £ т У Ч - |
(2-3 -6 ) |
|||
|
V |
|
О |
S |
|
V |
|
В |
(2.3.6) |
/?.ѵ |
определяется |
(2.1.23) |
или (2.1.24), а |
|
|
|
|
|
|
Y«> = 0 y>J|I/,(K)|Vx. |
|
||
|
Очевидно, |
что любые |
функционалы вида |
(2.3.6), |
|||
а |
также |
/гѵ |
одновременно |
измеримы. |
|
6* |
83 |
Подставляя (2.3.6) в (2.3.5) и используя статисти ческую независимость функционалов Фѵ, получаем
|
+ ( Ф , Ц і £/,(«) Г ^ ] . |
|
(2-3-7) |
Эта формула дает простое и очевидное правило |
пере |
||
хода от ошибок, |
рассчитанных для классического |
случая, |
|
к ошибкам для |
квантового случая: достаточно |
в |
выра |
жении для ошибки выделить дисперсии «элементарных» функционалов и заменить их дисперсиями с учетом кван товых эффектов [величины в квадратных скобках (2.3.7)].
Конкретные |
примеры нахождения ошибок будут даны |
в следующем |
параграфе. |
2.4. Частные случаи
Основываясь на полученных общих результатах, рассмотрим характеристики надежности обнаружения сигнала и точности изме рения его параметров, связанных с положением источника, для не скольких частных случаев. При этом будем считать, что обработка регулярного с точностью до параметров сигнала в приемнике сво дится к умножению на сигнал, комплексно сопряженный ожидае мому, и интегрированию. Известно, что такой приемник оптимален для обнаружения классического сигнала в гауссовом шуме. Эта оптимальность сохраняется при определенных допущениях и для квантовых сигналов (см. гл. 5).
При пространственной обработке сигнала точечного источника формирование квадрата модуля скалярного произведения принимае мого и ожидаемого сигналов соответствует синфазному суммирова нию поля от источника по апертуре, осуществляемому обычно в про цессе формирования изображения источника оптической системой.
Представим спектр сигнала в виде {см. (1.4.15)]
U(T, и)) = ( 7 ( Ш ) е х Р | - і - 2 ^ [ г = - ( р о г ) 2 ] + /7гро г|. (2.4.1)
Если заменить оптическую систему эквивалентной .линзой и счи тать последнюю квадратичным фазовым корректором [33], то поле сигнала за линзой можно представить в виде
Г А / ' 1 1 Л , ik f г , Ѵ , гг' 1 ,
84
Там, где линза строит изображение источника |
(l/r=l/f—1/г0 , р=г/г), |
(Л совпадает со скалярным произведением |
поля U на апертуре и |
ожидаемого сигнала. При большом удалении источника изображе ние получается в фокусе п опорный сигнал превращается в плоскую волну
|
g(r, Cù) = t7(m) exp ((Ар„г). |
(2.4.2) |
||
При направлении па источник, близком к нормали к плоскости |
апер |
|||
туры, функции |
(2.4.1), (2.4.2) являются медленными по сравнению |
|||
с <К}(т) {ом. |
(2.1.10)] -и при больших размерах |
апертуры |
можно |
|
использовать приближения |
§ 2.1, вытекающие из (2.1.10). |
|
||
В случае, |
описываемом |
(2.4.2), это приближение |
можно обосно |
|
вать несколько корректнее. Интеграл вида |
|
|
f К (г, — г) exp {ikçr) dr s
при всех ГІ, ие относящихся к полосе шириной порядка %, примы-,
кающен к границе апертуры, можно рассматривать как интеграл в бесконечных пределах, и тогда он пропорционален exp (ikport), поскольку спектр /<(г) равномерен. Таким образом, считая К(т) ô-функцией для плоской волны, пренебрегаем краевыми эффектами на границе апертуры, которые определяются конкретными гранич
ными условиями и в рамках данного |
теоретического |
рассмотрения |
ие могут быть учтены. |
|
|
В случае протяженного некогерентиого источника будем рассма |
||
тривать выходной сигнал приемника, |
формирующего |
взвешенную |
сумму интенсивностей сигналов, принимаемых апертурой с различ ных угловых направлений в пределах источника. Аналогично этому для сигнала со случайными спектральными составляющими в каче стве результата обработки будем рассматривать взвешенную сумму интенсивностей отдельных спектральных составляющих.
Точечный источник. Регулярный сигнал
Среднее число квантов сигнала, воспринимаемых согласованным приемником, определяется (2.1.28), число квантов шума — выраже нием (2.1.26). Соответствующие характеристики обнаружения можно
найти по формуле (2.2.1). Используя результаты |
§ 2.2, можно про |
следить зависимость порогового сигнала M от |
уровня фона N |
(рис. 2.10). |
|
При JV<10-5 порог единичный и M не зависит от N. При боль ших N значение M меняется скачками в соответствии со скачкооб разным изменением порога. При .Ѵ>1 зависимость переходит в ли нейную, качество обнаружения определяется отношением сигнал/фон
MfN.
Интересно |
проследить также |
зависимость пороговой энергии |
узкополосиого |
сигнала E=haM(N) |
для равновесного фона |
/ Ѵ = ( е ^ ѳ — I ) - 1
от частоты m и от температуры фона Ѳ. Выражая Ѣѣ через N, получаем
E(N)I®=M{N) |
In (1 + 1//V). |
(2.4.3) |
Эта зависимость, также показанная на рис. 2.10, имеет довольно
85
слабо выраженным минимум в области значении /Ѵ»0,5-ь0,8, что соответствует h (0,8-=-1,1 )Ѳ. Минимальное значение £(/Ѵо) отли чается от предельного при Arn—>-0 примерно в 1,5 раза.
Рассмотрим ошибки измерения координат источника, считая, что оценка производится по разности сигналов в двух соседних каналах с одинаковыми по форме опорными сигналами, смещенными по из
меряемом |
координате: |
|
|
|
|
|
(2.4.4) |
где n(ß) |
определено формулой |
(2.1.24) (апертуру считаем |
большой |
па, сравнению с длиной волны), |
п которой опорный сигнал |
g(r, со) |
50
20
10
5
г
1
ю7Г 10 |
10' |
10 |
ко |
10 M |
Рис. 2.10. Зависимости порогового среднего числа квантов регуляр ного сигнала и отношения сигнал/фон от уровня равновесного фона N при F= Ю - 5 и различных iß:
- M (M); - X - |
Ѳ~ |
= M («) 1; |
|
- ( ' + 4 - ) |
зависит от ß. Расстройку Aß в соответствии с принятыми ограниче ниями считаем такой, при которой F j , 2 = n ( ß o ± A ß / 2 ) измеримы одно
временно.
Для знаменателя в (2.4.2) имеем [см. (2.1.26), (2.1.27)]
86
где K(ßi, ßz) определено формулой (2.1.27) при значениях пара
метра iß в принимаемом и опорном сигналах, равных ßi и ß2 соответственно.
Для |
несмещенности |
оценки ß требуется, чтобы функция |
/<(ßi, |
|||||||||||
ßa) была четной функцией разности |
ßі—р2 : |
—ßo. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
Л |
РІ— |
2 |
2 |
|
|
|
|||
|
KOßi, ß )= |
|
:( |
|
ß ) =Д'(р |
|
|
|
||||||
Воспользуемся |
формулой |
(2.3.5), полагая ßi = ßo. В данном |
слу |
|||||||||||
чае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( |
D _ Y ( 2 ) _ |
, . |
Y |
f i ) _ Y ( 2 ) = 0 . |
_ |
| L = 4 |
|
|
! (4) |
|
||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
ß |
- |
V |
+ |
|
2М[К'(ДР/2)1 г |
' |
|
U |
|
|||
где N и Mo определены |
формулами (2.1.26) и (2.1.27). |
|
|
|||||||||||
Для |
классического |
|
случая |
расчет |
дикэпарсин |
ошибки |
іподраб- |
|||||||
но рассмотрен а (31]. В дашиам |
случае |
необходимо |
учитывать |
тре |
||||||||||
бование |
одновременной |
|
измеримости |
сигналов |
в |
канашах, |
приво |
|||||||
дящее к условию 7((Aß)=0. Для достаточно узкополосных |
сигналов |
|||||||||||||
(/ш^г /іыо) это условие |
|
эквивалентно условию статистической |
неза |
|||||||||||
висимости сигналов. При этом дисперсия числителя |
в (2.4.4) равна |
|||||||||||||
сумме дисперсий составляющих и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(м„/ло2 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Х |
2 [К' (ДР/2)]2- ' |
|
|
|
(2.4.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер зависимости ошибки от формы сигнала в классиче ском и квантовом случаях одинаков. Дополнительная составляющая ошибки, связанная с учетом квантовых эффектов, может быть пре обладающей, если число квантов сигнала невелико.
В качестве примера рассмотрим ошибку измерения направления прихода плоской волны при круглой апертуре и квазимонохромати ческом сигнале. В этом случае
(2.4.7)
где h (р) — функция, описывающая реакцию апертуры на плоскую волну; р , — проекция орта 'Направления прихода волны р на пло
скость апертуры; d, S — диаметр и площадь апертуры. Выбирая Д р
87