Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2.3. Ошибки измерения параметров сигнала, связанные с его флюктуациями и наличием фона

Начнем с рассмотрения оценок для числа квантов сигнала М, считая, что оценка'производится по результа­ там ряда независимых регистрации числа квантов /2|,...

..., а,.

Для распределения (2.2.1) в общем случае оценка максимального правдоподобия определяется сложным трансцендентным уравнением. Однако при большом от­ ношении сигнал/фон (это условие должно выполняться для достоверного обнаружения сигнала) оценка мало отличается от выборочного -среднего /7. Дисперсия оцен­ ки очевидным образом связана с дисперсией распределе­ ния (2.2.1) (см. (2.2.2)):

< £ = J - [М ( 1 + 2N) +

mN (I +

AT)],

(2.3.1)

где ^ о з н а ч а е т оценку.

 

 

 

 

 

Для отрицательно-биномиального

распределения

оценка определяется формулой

 

 

 

М =

О

при

п<тМ

 

(2.3.2)

 

 

 

 

и

mN

при

/i^>mN.

 

 

•Поскольку для получения малых вероятностей пропу­

ска и ложной тревоги

должно

быть p(ü^inN)

<^\, то

можно, ограничившись соответствующими уровнями сиг­

нала, при

расчете

дисперсии

использовать

равенство

М = п—mN

при всех

п. Тогда

дисперсия определяется

равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.3.3)

и совпадает

с дисперсией эффективной оценки.

При рассмотрении оценок неэиергетических парамет­

ров сигнала

ограничимся способами оценки,

в которых

tиспользуется совокупность одновременно измеряемых квадратичных функционалов поля. Пусть оценка выра­

жается формулой

l

Fm)<

(2.3.4)

82


где ß — оцениваемый

параметр,

Fi,...,Fm

— квадратич­

ные функционалы

поля. При уровнях сигнала,

достаточ­

ных для его обнаружения,

обычно

можно

при вычисле­

нии ошибок

линеаризовать

функцию

(2.3.4) по Fj (j =

= l , . . . , m ) .

Тогда

для

дисперсии

оценки,

используя

(2.1.31), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dFj

äFh

 

_

 

AF^Fk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dFi

âF

 

yU)

yW

(2.3.5)

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсия ошибки, найденная с учетом квантовых эффектов, отличается от классической дисперсии вели­ чиной, являющейся линейной функцией средних чисел квантов /гѵ в модах, при переходе к которым все функ­ ционалы диагонализируются, и квадратичной функцией весовых коэффициентов в диагональном представлении

Рассмотрим полезный для дальнейшего частный слу­ чай, при котором все Fj являются линейными комбина­ циями простейших одновременно измеримых и статисти­ чески независимых квадратичных функционалов Фѵ, об­ разующихся в результате умножения принимаемого сиг­ нала у (г, со) на опорные сигналы g"*v (г, со), интегриро­ вания и перехода к интенсивностям:

ѵи) Ф =

=

2 ° " '

ij d »J*M r - m )0( r - m ) d r

= £ т У Ч -

(2-3 -6 )

 

V

 

О

S

 

V

 

В

(2.3.6)

/?.ѵ

определяется

(2.1.23)

или (2.1.24), а

 

 

 

 

 

Y«> = 0 y>J|I/,(K)|Vx.

 

 

Очевидно,

что любые

функционалы вида

(2.3.6),

а

также

ѵ

одновременно

измеримы.

 

6*

83


Подставляя (2.3.6) в (2.3.5) и используя статисти­ ческую независимость функционалов Фѵ, получаем

 

+ ( Ф , Ц і £/,(«) Г ^ ] .

 

(2-3-7)

Эта формула дает простое и очевидное правило

пере­

хода от ошибок,

рассчитанных для классического

случая,

к ошибкам для

квантового случая: достаточно

в

выра­

жении для ошибки выделить дисперсии «элементарных» функционалов и заменить их дисперсиями с учетом кван­ товых эффектов [величины в квадратных скобках (2.3.7)].

Конкретные

примеры нахождения ошибок будут даны

в следующем

параграфе.

2.4. Частные случаи

Основываясь на полученных общих результатах, рассмотрим характеристики надежности обнаружения сигнала и точности изме­ рения его параметров, связанных с положением источника, для не­ скольких частных случаев. При этом будем считать, что обработка регулярного с точностью до параметров сигнала в приемнике сво­ дится к умножению на сигнал, комплексно сопряженный ожидае­ мому, и интегрированию. Известно, что такой приемник оптимален для обнаружения классического сигнала в гауссовом шуме. Эта оптимальность сохраняется при определенных допущениях и для квантовых сигналов (см. гл. 5).

При пространственной обработке сигнала точечного источника формирование квадрата модуля скалярного произведения принимае­ мого и ожидаемого сигналов соответствует синфазному суммирова­ нию поля от источника по апертуре, осуществляемому обычно в про­ цессе формирования изображения источника оптической системой.

Представим спектр сигнала в виде {см. (1.4.15)]

U(T, и)) = ( 7 ( Ш ) е х Р | - і - 2 ^ [ г = - ( р о г ) 2 ] + /7гро г|. (2.4.1)

Если заменить оптическую систему эквивалентной .линзой и счи­ тать последнюю квадратичным фазовым корректором [33], то поле сигнала за линзой можно представить в виде

Г А / ' 1 1 Л , ik f г , Ѵ , гг' 1 ,

84


Там, где линза строит изображение источника

(l/r=l/f—1/г0 , р=г/г),

(Л совпадает со скалярным произведением

поля U на апертуре и

ожидаемого сигнала. При большом удалении источника изображе­ ние получается в фокусе п опорный сигнал превращается в плоскую волну

 

g(r, Cù) = t7(m) exp ((Ар„г).

(2.4.2)

При направлении па источник, близком к нормали к плоскости

апер­

туры, функции

(2.4.1), (2.4.2) являются медленными по сравнению

с <К}(т) {ом.

(2.1.10)] -и при больших размерах

апертуры

можно

использовать приближения

§ 2.1, вытекающие из (2.1.10).

 

В случае,

описываемом

(2.4.2), это приближение

можно обосно­

вать несколько корректнее. Интеграл вида

 

 

f К (г, — г) exp {ikçr) dr s

при всех ГІ, ие относящихся к полосе шириной порядка %, примы-,

кающен к границе апертуры, можно рассматривать как интеграл в бесконечных пределах, и тогда он пропорционален exp (ikport), поскольку спектр /<(г) равномерен. Таким образом, считая К(т) ô-функцией для плоской волны, пренебрегаем краевыми эффектами на границе апертуры, которые определяются конкретными гранич­

ными условиями и в рамках данного

теоретического

рассмотрения

ие могут быть учтены.

 

 

В случае протяженного некогерентиого источника будем рассма­

тривать выходной сигнал приемника,

формирующего

взвешенную

сумму интенсивностей сигналов, принимаемых апертурой с различ­ ных угловых направлений в пределах источника. Аналогично этому для сигнала со случайными спектральными составляющими в каче­ стве результата обработки будем рассматривать взвешенную сумму интенсивностей отдельных спектральных составляющих.

Точечный источник. Регулярный сигнал

Среднее число квантов сигнала, воспринимаемых согласованным приемником, определяется (2.1.28), число квантов шума — выраже­ нием (2.1.26). Соответствующие характеристики обнаружения можно

найти по формуле (2.2.1). Используя результаты

§ 2.2, можно про­

следить зависимость порогового сигнала M от

уровня фона N

(рис. 2.10).

 

При JV<10-5 порог единичный и M не зависит от N. При боль­ ших N значение M меняется скачками в соответствии со скачкооб­ разным изменением порога. При .Ѵ>1 зависимость переходит в ли­ нейную, качество обнаружения определяется отношением сигнал/фон

MfN.

Интересно

проследить также

зависимость пороговой энергии

узкополосиого

сигнала E=haM(N)

для равновесного фона

/ Ѵ = ( е ^ ѳ — I ) - 1

от частоты m и от температуры фона Ѳ. Выражая Ѣѣ через N, получаем

E(N)I®=M{N)

In (1 + 1//V).

(2.4.3)

Эта зависимость, также показанная на рис. 2.10, имеет довольно

85


слабо выраженным минимум в области значении /Ѵ»0,5-ь0,8, что соответствует h (0,8-=-1,1 )Ѳ. Минимальное значение £(/Ѵо) отли­ чается от предельного при Arn—>-0 примерно в 1,5 раза.

Рассмотрим ошибки измерения координат источника, считая, что оценка производится по разности сигналов в двух соседних каналах с одинаковыми по форме опорными сигналами, смещенными по из­

меряемом

координате:

 

 

 

 

 

(2.4.4)

где n(ß)

определено формулой

(2.1.24) (апертуру считаем

большой

па, сравнению с длиной волны),

п которой опорный сигнал

g(r, со)

50

20

10

5

г

1

ю10

10'

10

ко

10 M

Рис. 2.10. Зависимости порогового среднего числа квантов регуляр­ ного сигнала и отношения сигнал/фон от уровня равновесного фона N при F= Ю - 5 и различных iß:

- M (M); - X -

Ѳ~

= M («) 1;

 

- ( ' + 4 - )

зависит от ß. Расстройку Aß в соответствии с принятыми ограниче­ ниями считаем такой, при которой F j , 2 = n ( ß o ± A ß / 2 ) измеримы одно­

временно.

Для знаменателя в (2.4.2) имеем [см. (2.1.26), (2.1.27)]

86

где K(ßi, ßz) определено формулой (2.1.27) при значениях пара­

метра iß в принимаемом и опорном сигналах, равных ßi и ß2 соответственно.

Для

несмещенности

оценки ß требуется, чтобы функция

/<(ßi,

ßa) была четной функцией разности

ßі—р2 :

—ßo.

 

 

 

 

 

 

 

2

Л

РІ

2

2

 

 

 

 

KOßi, ß )=

 

:(

 

ß ) =Д'(р

 

 

 

Воспользуемся

формулой

(2.3.5), полагая ßi = ßo. В данном

слу­

чае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (

D _ Y ( 2 ) _

, .

Y

f i ) _ Y ( 2 ) = 0 .

_

| L = 4

 

 

! (4)

 

так что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°

ß

-

V

+

 

2М[К'(ДР/2)1 г

'

 

U

 

где N и Mo определены

формулами (2.1.26) и (2.1.27).

 

 

Для

классического

 

случая

расчет

дикэпарсин

ошибки

іподраб-

но рассмотрен а (31]. В дашиам

случае

необходимо

учитывать

тре­

бование

одновременной

 

измеримости

сигналов

в

канашах,

приво­

дящее к условию 7((Aß)=0. Для достаточно узкополосных

сигналов

(/ш^г /іыо) это условие

 

эквивалентно условию статистической

неза­

висимости сигналов. При этом дисперсия числителя

в (2.4.4) равна

сумме дисперсий составляющих и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(м„/ло2

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х

2 [К' (ДР/2)]2- '

 

 

 

(2.4.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характер зависимости ошибки от формы сигнала в классиче­ ском и квантовом случаях одинаков. Дополнительная составляющая ошибки, связанная с учетом квантовых эффектов, может быть пре­ обладающей, если число квантов сигнала невелико.

В качестве примера рассмотрим ошибку измерения направления прихода плоской волны при круглой апертуре и квазимонохромати­ ческом сигнале. В этом случае

(2.4.7)

где h (р) функция, описывающая реакцию апертуры на плоскую волну; р , проекция орта 'Направления прихода волны р на пло­

скость апертуры; d, S — диаметр и площадь апертуры. Выбирая Д р

87