Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

можно оставить в сумме в (2.2.14) последний член и

при / г 0 > т и УѴ2>/г0/2.

200

Рис. 2.2. Зависимость по­ рога, соответствующего вероятности ложной тре­ воги F=IQ-5, от средне­ го числа шумовых кван­ тов для отрицательно-би­ номиального распределе­

ния с m степенями свободы.

10 N

При наличии полезного сигнала упростить сущест­ венно распределение (2.2.1) для промежуточного слу­ чая не удается. На рис. 2.3 приведены вычисленные по

зависимостей с результатами расчета по приближенной формуле (2.2.11) при т = 1 , 2 показывает их удовлетво­

Перейдем теперь к рассмотрению флюктуирующих сигналов. Соответствующие законы распределения мож­ но получить, усредняя рассмотренные распределения по флюктуациям. В соответствии с принятой здесь мо­ делью сигнала среднее число квантов M считаем рас-

73

го аналога нецентрально­ го ^-распределения

( Т = 1 0 - 3 , N=1).

функцию и соответствующее ей распределение для чис­ ла зарегистрованных квантов в виде

где M — среднее значение числа сигнальных квантов. Среднее значение и дисперсия для распределения (2.2.17) выражаются формулами

п = mN -)- yî?,

а* = UTF2 -J- j/j? ( 1 + 2N) -f- /яЛ^ ( 1 - f N).

Вероятность превышения порога для такого распре­ деления простыми преобразованиями приводим к виду

74

же пороге щ и числе ячеек m—1. Эта вероятность опре­

Для дальнейшего упрощения формулы (2.2.18) за­ метим, что сумма в (2.2.17) имеет вид интегрального закона отрицательно-биномиального распределения. Ис­ пользуя это сходство, определяем

для обеспечения достаточно малых 'вероятностей про­ пуска, вероятность F в скобках последнего выражения можно отбросить. В результате получаем

Подчеркнем, что приближенная формула (2.2.20) справедлива как для зесьма низкого уровня фонового •излучения, при котором распределение для числа фоно­ вых квантов можно считать пуассоновским, так и для высокого уровня фонового излучения, при котором это распределение превращается в гамма-распределение. В последнем случае формула (2.2.20) переходит в свой «классический» аналог [31]:

75

Рис. 2.4. Зависимость ß(rt<«0 ) от параметра отрицательно-бино­ миального распределения а при числе степеней свободы т—1:

— аппроксимация Г-распределсшіем.

76

Заметим, что полученные результаты остаются спра­ ведливыми и для случая, когда в одном приемном кана­ ле суммируется когерентно несколько статистически не­ зависимых составляющих сигнала. Такое когерентное суммирование может происходить, например, при интер­ ференции сигналов двух близко расположенных целей,

с опорным сигналом рассматриваемого приемного ка­ нала.

Теперь рассмотрим случай независимых флюктуации сигналов в ячейках. В этом случае, усредняя (2.1.30) при

теристической функции отрицательно-биномиального рас­ пределения, которое уже рассматривалось [см. (2.2.13)].

Зависимости вероятности ß недостижения порога п0 (вероятности пропуска) от а = М і + УѴ при различных значениях щ для ряда значений числа ячеек т, полу­ ченные численным расчетом, приведены на рис. 2.4—2.7. Для некоторых п0 (достаточно больших) там же для сравнения приведены аналогичные кривые для гаммараспределения, а для больших значений m и малых зна­ чений порога (по<т) —кривые для пуассоновского рас­ пределения. Сравнение кривых позволяет судить о каче­ стве каждого -из этих 'приближений. Из 'рисунков видно, что в окрестности а = 1 при малых ß ни одно из указан­ ных приближений не может считаться удовлетворитель­ ным. При m > 1 для этой области значений а можно воспользоваться гауссовым приближением. Отрицатель­ но-биномиальное распределение приближается в этой области к гауссову, минуя пуассоновское и гамма-рас­ пределения.

Приведем среднее значение и дисперсию, а также ко­ эффициенты асимметрии ( Y I ) и эксцесса (-ys) для отри-

77