Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
цательпо-б'шюмиального распределения:
и = та, а2 == та. ( 1 4- а), 71
, |
|
1 + |
3rt + 2rt= |
|
|
/ т я |
(1 + « ) ^ ' |
l b — 1 / — |
(2.2.23) |
||
|
|
|
|
у 2 = - |
1 |
1 4 - 7 д + 12fl2-r-Grt3 |
|
ш |
|
( 1 + я ) 2 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1,0 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.6. Зависимость ß(/i<n0 ) от а при /п = 5: |
|
||||||
• — аппроксимация |
Г-распределеннем; |
—• — • — аппроксимация |
распре |
|||||
|
|
|
|
делением |
Пуассона. |
|
|
|
0,8ß |
N у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<х |
|
|
|
|
m-10 |
|
|
|
N> |
\ |
|
|
|
||
0,6 |
|
X |
|
\\\ |
|
|||
|
|
|
|
W |
\ V |
|
||
|
|
|
|
10 |
\s\ |
|
||
0,2 |
|
|
|
\V |
\\ |
V \\ |
|
|
О* |
|
|
|
|
V 1 \ |
\\\ 1\ |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
0,01 0,02 0fi5 |
0,1 0,2 |
0,5 |
1 2 |
S 10a |
|
|||
|
Рис. 2.7. Зависимость ${n<n0) |
іот a при m=10: |
|
|||||
— аппроксимация |
Г-распределением; |
— • — — аппроксимация |
распре |
|||||
|
|
|
|
делением |
Пуассона. |
|
|
|
78
При а<СІ yi, Y2 стремятся |
к нулю с ростом т, |
как |
|||||
\jYта |
и 1/ma, |
a при а ~ 1 |
-и т > 1 — как |
\/Ѵ~гпи |
lfm |
||
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
На |
рис. 2 . 8 зависимости, аналогичные |
приведенным |
|||||
на предыдущих |
рисунках, |
сравниваются |
с гауссовым |
||||
приближением при |
т=20. |
|
|
|
|
||
Как |
видно 'из ( 2 . 2 . 2 3 ) , с ростом m флюктуации |
сгла |
|||||
живаются: Гі2/юп2—^00 |
при m—>-оо. |
Поэтому _при больших |
|||||
m минимальный |
обнаруживаемый |
•сигнал M становится |
|||||
ю а
малым по сравнению с фоном niN. При этом уравнение характеристик обнаружения в гауссовом приближении имеет вид
1 Л 7 = - | / т Л ф - I - / V) |
[ Ф - 1 (1 - /?)+;Ф ~»(1 — ß ) ] . |
(2 . 2 . 24 ) |
При /Ѵ<СІ эта формула совпадает с ( 2 . 2 . 6 ) , |
полученной |
|
для ігтуассоновского |
приближения. При N^l |
она пере |
ходит ів классическую формулу для отношения M/N. |
||
Согласно ( 2 . 2 . 2 4 ) |
пороговая энергия сигнала M рас |
|
тет с ростом числа ячеек как У т. Однако такой рост получается для флюктуирующего сигнала только при больших т.
Как видно из рис. 2 . 9, в случае слабого шума (аѴ—>-0) пороговый сигнал монотонно убывает с ростом m тем заметнее, чем меньше ß. Это убывание объясняется тем, что относительные флюктуации суммарного сигнала уменьшаются с ростом т. При увеличении m скорость убывания уменьшается.
79
При наличии шума_(для N^> \ по оси абсцисс откла дывается отношение M/N) с ростом m увеличивается его вклад в наблюдаемый сигнал. Это приводит к тому, что для ß = 0,5 M растет с ростом m, а для ß < 0 , 5 появ ляется очень пологий минимум, положение которого сла бо зависит от уровня шума и который расположен где-то вблизи /77i=3-f-5. Существование этого минимума давно
м |
\ß'0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
20 |
|
|
0,5 _• |
|
|
|
|
|
£3 |
|
|
ГО *ч |
|
|
|
||
|
$5___ |
|
|
||
|
Л•7 |
- • |
— _ |
|
|
|
|
|
|
||
|
"іО |
|
|
|
|
C5J1 |
- |
- _ |
0,5 |
|
|
2 |
|
5 |
10 |
20т |
|
|
|
||||
Рис. 2.9. Зависимость порогового среднего числа квантов M сигнала |
|||||
•от числа степеней |
свободы m три F=\Q-*> |
и различных ß: |
|||
|
N-yO; |
#=0,1; |
|
W > 1 . |
|
известно для классических сигналов и позволяет умень шать пороговую энергию сигнала выбором темпа обзора [31]. Для световых сигналов выбор темпа обзора был рассмотрен в [32].
Итак, подробно рассмотрен случай дружных флюктуации сиг нала в ячейках и случай, когда амплитуды полезного сигнала в ячей ках представляют собой независимые случайные величины и рас
пределены одинаково. |
В оптических приемниках (главным образом |
||
при широкополосных |
входных фильтрах) |
встречается |
случай, при |
котором все. ячейки, |
составляющие шума |
в которых |
независимы, |
можно разбить на группы, внутри которых сигнальные составляю щие жестко коррелироваиы, а корреляция между группами отсут ствует. Закон распределения суммарного числа квантов в этом слу
чае |
имеет вид |
свертки |
та |
распределений |
( т с |
— число |
групп) |
||
(2.2.17), которую |
при одинаковых характеристиках |
сигналов |
в груп |
||||||
пах |
можно представить |
как свертку двух |
отрицательно-биномиаль |
||||||
ных распределений: распределения для фона |
(a=N) |
с m—тс |
степе |
||||||
нями |
свободы |
(т — общее число ячеек) и |
распределения для сиг |
||||||
нала |
с фоном |
\a=N+M) |
с тс |
степенями |
свободы. Это непосред- |
||||
80
ствеино следует из вида характеристической функции, являющемся произведением функций (2.2.16). Анализ получающегося распреде ления весьма громоздок и поэтому ограничимся рассмотрением про стых приближений.
Простые результаты получаются тогда, когда каждое из свер тываемых отрицательно-биномиальных распределений близко к пуассоновскому или гауссову. Условия этой близости уже обсужда лись в данном параграфе. Во многих конкретных задачах они вы полняются (см. гл. 3, 4).
Для небольших значений nie (несколько единиц) при оценке порогового сигнала можно воспользоваться теми же приближения ми, которые привели к формуле (2.2.21). В этой формуле вероят ность превышения порога связана с уровнем сигнала M так же, как при отсутствии фона, а наличие последнего учтено уменьшением порога на величину среднего значения фона. При определенных условиях такой результат можно получить для любых сворачивае
мых распределений фона рф(п) |
и фона |
с |
сигналом |
Рс(п): |
|
|||||
|
|
0 0 |
п |
|
|
|
|
|
|
|
1 — р = |
2 |
£ |
Pa(n—k) |
рф(II) |
= |
|
|
|||
|
|
л=;і„ k=0 |
|
|
|
|
|
|
||
= S |
РФ (k) |
S |
M |
0 + X |
Р Ф ( ' 0 - |
|
|
|||
k=0 |
|
І—Пц—k |
п—по |
|
|
|
||||
Величина второго |
слагаемого |
в |
последнем |
выражении |
имеет |
тот |
||||
же порядок, что и вероятность |
ложной |
тревоги F, и для ß » i F |
им |
|||||||
можно пренебречь. Если |
распределение |
р,\,(к) |
сосредоточено в зна |
|||||||
чительно меньшей области значений /, чем ра(к), |
то |
|
|
|||||||
|
ОО |
|
|
0 0 |
|
о о |
|
|
|
|
|
S |
А |
(О S |
|
|
Е |
Po (П. |
(2.2.25) |
||
|
"о—ko |
|
k=0 |
|
n0—k |
|
|
|||
где ko — целое число, ближайшее к среднему значению распределе
ния Р Ф ( А ) .
Очевидным условием применимости этого приближения являет ся выполнение следующих неравенств для дисперсий: orc2S> 1; 0"<іі2<С <Со"о2. В рассматриваемом случае эти неравенства имеют вид
nie (Mi+N) |
(\+Mi+tN) |
» 1; |
|
Ото (Mi +N)(l +Mi +N) > |
(m—ma)N(N+l). |
(2.2.26) |
|
Первое неравенство (2.2.26) выполняется всегда, поскольку для на дежного обнаружения требуется, как видно из предшествующего рассмотрения, чтобы m.cMi=M'ä>>[. Второе неравенство существенно олраничивает применимость (2.2.25). При конкретных расчетах целе сообразно сначала оценить пороговый сигнал по пуассоновскому или гауссову (какое больше подходит) приближениям (оба эти прибли жения, как видно из приведенных графиков, при ß<0,5 занижают пороговый сигнал) и перейти к расчету по формуле (2.2.25) только в том случае, если для предварительной оценки неравенства (2.2.26) выполняются.
6—220 |
81 |