Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
При записи (3.1.5) предполагалось, что в области пространства, где локализована частица, поле можно •считать постоянным (днполыюе приближение).
Зависимость 0,^(0. используя уравнения Гейзеиберга [см. (1.1.23)J, определяем уравнением
Производя замену
Я , ( 0 = ^ ( 0 е ' 4 1 4 ' ;
(3.1.6)
и используя матричную запись, получаем
i№Wldt = [W,Q\, |
(3.1.7) |
где
Решение уравнения (3.1.7), используя метод последова тельных приближений, можно представить в внде
#(/)=3-i(/)^(0)S(0, (3.1.8)
где
со |
t |
-, |
T n - 1 |
1 |
0 |
0 |
О |
|
|
|
(3.1.9) |
OD |
< |
%„ -1 |
|
S-«(.)=/+5] (-г)'р"1'- J ^nQW-'QK). (3.1.10)
1 |
о |
0 |
/ — единичная матрица. |
||
Исходное состояние системы естественно считать ста |
||
ционарным. При |
этом |
оператор плотности частицы диа- |
98
гонален в энергетическом |
представлении: |
|
~ Р = £ р Д Д 0 ) . |
(3.1.11) |
|
Для упрощения будем |
считать, что р; = 0 |
для I Œ L , |
т. е. дл'я свободных состояний. Это предположение оправ дано тем, что в реальных фотоприемниках электроны, перешедшие в свободные состояния, достаточно быстро удаляются из системы приложенным полем. Во всяком случае, число неудаленных свободных электронов зна чительно меньше числа связанных, и переходами из сво бодных в связанные состояния под действием света мож но пренебречь.
Усредняя N= 2 |
ayv (t) с |
помощью р, получаем |
. (N)= |
S |
T,S-l(t)PlSh{t), |
|
|
(3.1.12) |
^'=<«.|3-1|«і>. sw = (.,|S|.i>.
Формула (3.1.12) учитывает |
всевозможные |
переходы, |
||||
в том числе и многофотонные |
(например, многократные |
|||||
переходы |
снизу |
вверх |
и сверху |
вниз). Учитывая, что |
||
в данном |
случае |
из-за |
наличия |
механизма |
удаления |
|
частиц в свободных состояниях многофотониые переходы нужно исключить, воспользоваться этой формулой (по лученной без учета удаления свободных частиц) можно только тогда, когда вероятность многофотонных пере ходов пренебрежимо мала. Для этого должна быть достаточно мала интенсивность светового потока, так что
в данной задаче можно ограничиться |
в (3.1.12) членом |
наинизшего порядка по полю: |
|
О U vg:£. |
|
ХА~(ФЫ)а\аЧ. |
(3.1.13) |
Этот результат совпадает, естественно, с вероятностью перехода, получаемой в обычной теории возмущений.
Сумма под интегралом V(tz—ті) является характери
стикой |
чувствительности |
рассматриваемой системы |
7* |
|
99 |
к -световому потоку. Если, как это обычно бывает, спектр собственных значении энергии является непрерывным, то суммы во всех разложениях нужно заменить интег
ралами, а |
'Нормированные векторы состояний |
заменить |
|||||||||
ö нормированными |
векторами. В соответствии с ( 1 . 1 . 3 2 ) |
||||||||||
диагональный в энергетическом представлении |
оператор |
||||||||||
плотности |
запишем в |
виде |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
? |
=Jp |
(s) |
de |
J jYS |
(s - |
s,) 8 ( s - ea) |
| s,> |
< 8 2 | ^ 2 , |
( 3 . 1 . 1 4 ) |
||
где |
p(e) — плотность |
вероятностей. В |
первом приближе |
||||||||
нии |
по |
полю |
для 5(6^6,; г ? ) , и 5 - 1 |
(s,,s2; t) |
имеем |
|
|||||
s |
|
' « 8 ( 8 1 - е а |
) = |
ь ^ ( в | |
, 8 1 |
) е |
h |
Л ( т ) г і х , |
( 3 . 1 . 1 5 ) |
||
где |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
|
? ( e i . e s ) = |
( e il?| e s > - |
|
|
|
|||||
( 3 . 1 . 1 4 ) , |
( 3 . 1 . 1 5 ) |
в выражения, являющиеся |
|||||||||
непрерывными |
аналогами формул ( 3 . 1 . 8 ) , ( 3 . 1 . 1 2 ) , |
полу |
чаем |
|
|
|
t і |
|
(N)= |
^ У ( х „ х 2 ) Л ( х , ) Л ( х 2 ) ^ х 2 , |
( 3 . 1 . 1 6 ) |
|
ô о |
|
где |
|
|
|
со |
|
V К,
X e x p
g = i j
•(e, — s)
1
d e j p (s') eis'
L Г
T , — (ea — e) T У2 ft
j j> (e, 6l) < f (s, e2) |
X |
0 |
|
S (е, — s ' ) 8 ( s 2 — s ' ) d S l d s 2 .
|
|
|
|
( 3 . 1 . 1 7 ) |
Наличие ô-функцин под интегралом (3 . 1 . 17) |
позво |
|||
ляет заменить |
еі |
и ег в показателе экспоненты |
на е'. При |
|
этом становится |
ясно, что Ѵ(ті, тг )= , Ѵ ( т2 — Ті) . |
Спектр |
||
этой функции |
есть |
|
|
|
|
со |
со |
|
|
V И = Щ |
Д, (в + feo) р (в) de ^ q (e + |
s,) |
X |
|
|
u |
о |
|
|
X 9* ( s |
+ |
s =) 1 / 8 ( 8 , - 8 ) 8 ( 8 , - в ) с М е Л 1 |
|
(3 . 1 . 18 ) |
100
где AL (е-(-T^CD) = 1 для s G i и равно нулю для осталь ных S .
Функция Ѵ(а) является характеристикой спектраль ной чувствительности данного сорта частиц. Если про изведение А / - / ^ > 1 (Af —ш и р и на полосы спектральной чувствительности), то
t т
ф) я* Çtb j Ja» (t — -с,) ію* (t — хя) y+ (т,) y (xa) dtjäx,,
0 — 0 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.19) |
||
где w(t)—импульсная |
переходная |
функция |
фильтра |
|||||||||
с частотной |
характеристикой, |
определяемой |
|
соотноше |
||||||||
нием W (ш) | 2 |
т = Ѵ (со) cü 2 /2itc . В этом |
случае" (А/) можно |
при |
|||||||||
ближенно |
считать |
аддитивным |
квадратичным |
функциона |
||||||||
лом поля, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ft |
ft |
+ |
/а |
I 0)) = |
(N (t, 10)) + |
(ÏÏ (tt + 1 , 1 ^)), |
|
|
||||
где \t означает, что счет переходов начинается |
с момен |
|||||||||||
та t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
(А/) в (3 . 1 . 4) , |
считая |
распределение |
рі |
||||||||
для всех частиц одинаковым, число |
частиц |
большим, |
а |
|||||||||
(А/) малым, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(Ф(т,)) = |
[14-(/ѴГ)(е',>- l)]m = |
exp |
\(N)m{^-\)\. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.20) |
||
Остается |
усреднить |
< Ф ( т ) ) > |
по полю. |
При |
этом |
|||||||
можно воспользоваться результатами § 2.1. Для случая
•Р-представимого |
оператора |
плотности поля |
согласно |
||
(2 . 1 . 18) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
ОО |
|
|
Ф ( Т ) ) = < Ф ( Т ) ) > = ]• |
• • |Лсл ({«,}) X |
|||
|
|
|
Ü |
о |
|
|
X О ехр {/гѵ [em T » ( е |
' ' ч - 1 ) - \]}dn4, |
(3.1.21) |
||
где |
Yv — собственные |
значения квадратичного |
функцио |
||
нала |
поля (3.1.16); |
Ркл |
({яу }) — классическое |
распреде |
|
ление для числа квантов в модах, собственных для
101
данного функционала. В данном случае |
Yv й м е е т |
смысл |
|||||
вероятности регистрации |
кванта |
отдельной частицей в |
|||||
соответствующей |
моде. |
При Af-t^-l |
можно |
считать, |
|||
что |
{/гѵ} — числа |
квантов |
на участках |
спектра |
шириной |
||
\jt. |
Тогда уѵ — квантовая |
эффективность, |
приходящаяся |
||||
на |
одну частицу. Обычно |
/?гуѵ < |
1 (если |
бы |
это |
условие |
|
не выполнялось, то следовало бы учитывать влияние на
поле выбывания |
квантов). При |
этом |
|
о о |
о о |
|
|
Ф ( Ч ) = j . . |
. | Я к а ({«,}) ехр |
Г т І > J v ( e , 4 > - 1) dn. |
|
U |
Ü |
I. V |
|
(3.1.22)
Таким образом, распределение числа переходов мо жет быть получено усреднением пуассоновского распре деления со средним значением
оо
|
|
/ Ѵ = 2^J«(ü))Y(u>)dcü, |
(3.1.23) |
|
|
|
о |
|
|
где |
п(ю)—спектральная |
плотность числа |
квантов, |
|
Y ( I C Ù ) — к в а н т о в а я эффективность, с помощью |
классиче |
|||
ского распределения величины N. |
|
|||
|
Если рассматривать значения Ni на двух «ли более |
|||
неперекрывающихся временных интервалах tu |
...,t)t, то |
|||
при |
Afti^l |
все Ni будут |
коммутировать (поскольку |
|
поля коммутируют, а каждая частица участвует в пере ходе только однажды) и, следовательно, будут одновре менно измеримы, а совместное распределение для них будет получено по тому же правилу, что и для одного интервала. Условия, использованные при выводе, требу
ют, чтобы малыми были вероятность |
перехода для |
|
фиксированной |
частицы за врем_я, 'большое по сравнению |
|
с «постоянной |
времени» фотодетектора |
1/Af, и вероят |
ность регистрации одного кванта. Оба эти условия при приеме оптических сигналов обычно выполняются.
Виспользованном подходе частицы рассматривались как раз
личимые и допускалось, что различные частицы могут находиться в одном и том же состоянии. В действительности электроны в фото катоде, например, фотоэлектронного умножителя (ФЭУ) пли в фото сопротивлении принципиально неразличимы и должны подчиняться принципу запрета Паули: в любом состоянии может находиться только один электрон (частицы, подчиняющиеся этому принципу на зываются фермпонами).
102