Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

угол в m раз больше элемента

разрешения

X-/S

(X — длина

волны,

S — площадь

приемной

апертуры, см. гл. 1). При этом, как нетруд­

но проверить,

Р п

О

= л! ( П +

т - 1 )

г ^

- ^

L

. . ,

(3.2.21)

"l

+ J H- (s) ds n+m

в неперекрывающихся подобластях Qt

І^і0.і

=

0,\. В этом

случае

распределение р„ (si, ... , sn) получим

в виде

произведения

распре­

делений (3.220) для подобластей П,-, а

распределение для числа

рассматривать и для потоков,

описываемых распределением

(3.2.21).

Заметим, что если число потоков в суперпозиции

велико, а ве­

роятность

появления

более чем одного электрона в каждом

потоке

пренебрежима мала,

то суперпозиция, как нетрудно показать, ока­

зывается пуассоновским потоком.

Для

получения pn(si,

...,

sn)

в

более общем

случае

можно

в принципе

воспользоваться разложением g(si, s2 ;

а) при

O ( ' ) = - 1 + S M ( S - S J )

/

в ряд по степеням Д.,-:

со

п

g fr, s2 ;

S

g , ' ' - ' l , ( s „

sz;

a)A; , . . . A v

(3.2.22)

1=0 Іг

/t =l

Подставляя этот ряд в уравнение

(3.2.18)

находим

g l ' ' ( s , , s2;

a) =

a'fj.(s/ i )...K-(s,i )go(si. s / , ;

»)•••

• ••go (sy

. s2 ;

a),

(3.2.23)

где go{s^, s2 ; a)—решение уравнения (3.2.18) при v=—1.

Таким

образом,

для

нахождения

производящего

функционала

достаточно

решить

уравнение

(3.2.13)

при ѵ = const.

Подстановка

pn(slt...

,sn)=,Fn(su...,sn)

е-°°<й >,

(3.2.24)

где е — с °

=

р0 (2) — вероятность

отсутствия электронов в об­

ласти Q,

а функции

F„(Si,

... , s„) связаны

с

коэффициентами

Gi(Si

si)

разложения в ряд по А,- логарифма

L [и]

так же, как

моментные функции с корреляционными [54]:

Fi(s)

= Gl(s);

F 2 (s,,

S2 ) = G I(SI)G ,(ÄS) +

+

G 2 ( S I , s2 ); ... ;

F„(si, ... ,

s„) =

^GiiSi)

. . .

G , ( s „ ) + . . .

(3.2.25)

pAsx

s„) ^ G , (s,) ... G, ( s n ) e - G ° < s > .

(3.2.26)

X go (s', s)

ds'

da + Z(s)-Vv

(S)

Çgo(s .

S " ' , a ) X

(3.2.27)

G 0 (2) =

{

I z (s) |« + H- (s)

[ g0 (s,,

s;

a) rfa

s L

ö

J j g o ( s , .

s2 ;

1) W (s,) p. (s,) 5*150"z (s,) ds,rfsa .

(3.2.28)

Заметим, что при я=0 ; 1 формула (3.2.26) является точной.

В качестве примера рассмотрим

случай,

при котором регуляр­

на, причем

радиус

корреляции случайной

составляющей

s\t мал

по сравнению с размерами области Q. В этом случае для решения

уравнения

(3.2.18)

можно воспользоваться

преобразованием

Фурье,

пренебрегая граничными эффектами. В результате из

(3.2 26) полу­

чим

|xVK S0

(х) rfx

X

X e x p j - ^ p - J l n [ l + t*V.S0

(*)]-**}•

(3.2:29)

где 5o(x)—нормированная (max5o=l)

спектральная плотность

флюктуации; ß — размерность

задачи;

Ѵк — объем

когерентности,

определяемый из условия

J p ( s ) e

ds = V K S 0 ( x ) .

(3.2.30)

I

G» (Si

« « Х Д 0

'

{ S i )

для всех 2 ^ / ^ л и всех

Sj(/=1

и).

Оценки для одномерного

случая '[45]

показывают,

что G 2 / G і 2 ~ 0 , 1

.при |si—S2J /pn=.l (р« —

радиус корреляции).

Чтобы

приближение

(3.2.26)

можно

было использовать для лю­

бых реализации,

должна быть пренебрежимо мала вероятность по­

явления больше

чем одного электрона в объеме корреляции

Ѵк,

т. е. должно быть и.Ѵи<СІ. При этом распределение (3.2.26)

пере­

ходит в пуассоновское со средней плотностью

ция

числа

фотоэлектронов F(A)—L[—1+А]

заменой в (3.2.18) на

а' =

а(1—А)

может быть приведена к виду

v.

0 j "

s

J

g„ (s, s; a) p.

>

i =

L [— 1 + Д] = ехр < —

da

(s)ds

!

0 0

s

!

- jefo j g „ ( s , s;

a ) p . ( s ) d s + J J i r

x «

Г

<3 -2 -3 1 )

111

0

S3

l=\

J

X

go {Si,

SU

a ) —

a

\ g0

( S i ,

s')

(J. (s') g0

(s\

s,

X

Xp . (s 1 ) ... p . (s l )rfs 1 ... rfs l .

(3.2.32)

Вероятность P n

можно представить в виде

рп =

' ^ ^ р \

-

j/«

j H-(s) go (s.

s;

a)dsl,

(3.2.33)

причем mn и

связаны так же, как моменты

и кумулянты

случай­

ной величины.

В случае стационарных

быстрых

флюктуации

X , =

( / - 1 , !

^ ) r J L i + ^ A w J

•

Величины Xi имеют порядок Q/VK . Этим можно

воспользоваться для

получения асимптотического выражения для Р„.

Величину тп

можно представить в виде суммы

mn =

\ l l l +

2

yg- +

- - + - j | - ) .

(3.2.34)

слагаемые

которой

представляют

всевозможные

произведения

степе-

0 0

ней л

удовлетворяющие

условию 2

=

С ростом Q/VK

вто-

рое слагаемое в (3.2.24) убывает как Vu/Q,

а остальные как (VK /£2)2

и

быстрее. Если

п2 <СЙ/Кк , то можно ограничиться в (3.2.34)

толь­

ко первым слагаемым. Тогда

Я ( л ) ^ - ^ - е х р | - ^ - j j l n [ l + ^ V K 5 0

(*)]dxj.

(3.2.35)

Аналогичное рассмотрение можно провести и для общего случая

суперпозиции регулярного

и

гауссова

полей. Пші Й/1/К 3>к2

полу­

чаем

Р(п) = - ^ - е - с

° ( э )

,

(3.2.36)

где

Kt

=

j" С, (s) ds.

Легко

видеть,

что

это приближение

связано

в

с

(3.2.26)

так,

как

и

должны

быть

связаны

распределение

Pn{Sl,

. • .,

S n ) И

P(ll).

Для одномерного случая и конкретных видов спектральной

плотности

легко

оценить

второй

член в

скобках в

(3.2.34). Эта