Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Скачать файл (6,75Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 107

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Наиболее удобным методом описания системы тождественных частиц является формализм вторичного квантования, при котором

состояние	системы характеризуют	числами частиц,		находящихся
в каждом	из полного набора состояний. При этом			вводят, как и
в задаче с осциллятором, операторы		рождения и	уничтожения ча
стицы в каждом состоянии (С,+ и		б] ), причем	оператор		числа
частиц иj определяют как CfCj.
Для выполнения принципа запрета		операторы		C j	должны
подчиняться	следующим соотношениям:

ІСі,	<?+]+ = о,
	(3.1.24)
Cf	= 0 при m > 1.

Из этих соотношений следует, что при любом целом т > 0

откуда				е ^ - П П + ^ ^
$ ( , )	= П е ,	, Л =	П	е ^ - П П + ^ ^		І Н	-(3.1.25)
Оператор	перехода	os ( J .=		C v	+ C \| x подчиняется, как	легко	показать,
используя	(3.1.24),	тем	же		соотношениям (3.1.6) — (3.1.10), что и

аналогичный оператор для одной частицы. Это вполне естественно,

поскольку в обоих случаях учитывается, что в каждом	состоянии
может быть ие больше одной частицы.
Оператор плотности исходного стационарного состояния системы
диагоналей в представлении чисел заполнения:
? = S Р ( { А , } ) \| { М > < { * , } \| .	( З - 1 - 2 6 )

{*»}

причем, как и ранее, будем считать, что свободные состояния не заполнены.

Усредняя (3.1.25) с учетом (3.1.8), получаем

<$(*»)>=	S Р ({*,}) П I ' + S W S		,	, ( e ' T - l J J .		•	(3.1.27)
	{*v }	lŒL
В S^1	(/) 5;v (t)	из тех же соображений,		что и	ранее,		целесооб
разно ограничиться		членами паннизшего	порядка		по	полю. Сумма

по / в (3.1.27) определяет вероятность перехода в ѵ-е состояние при

103

заданном распределении частиц по связанным состояниям. Считая

эту вероятность малой,			можно представить				( Ф ( т \| ) ^	в	виде
( Ф М > ~		S	Р ( { * , } ) ехр				nerf.
					fe=L
X	f J 2 Ы	^	M	е _ ' Ч (	dt,dTs (e'i - C l )					(3.1.28)
Полученный результат отличается от аналогичного для нетож
дественных	частиц тем, что сумма				в показателе экспоненты,					харак
теризующая	спектральную			чувствительность			фотодетектора,			являет
ся случайной функцией			чисел заполнения			/г/, принимающих значения
0; 1. Однако три большом				числе частиц		и достаточно			компактом
распределении р({кі})			эта сумма будет слабо меняться при изме
нении распределения		{ki},		так что	можно		считать	усреднение по
{ki} несущественным.

При переходе к непрерывному спектру энергий электронов на личие двух частиц в одном состоянии является и в случае разли чимых частиц невероятным событием и принцип запрета перестает влиять на результат.

Итак, при вполне оправданных с точки зрения прак тики ограничениях распределение чисел фотоэлектронов на непересекающихся временных интервалах может быть получено из пуассоновского распределения усред нением по классически описываемым флюктуациям све тового потока. Нижняя граница продолжительности та ких интервалов есть величина порядка \/Af, где Af— ширина кривой спектральной чувствительности фотоде тектора (это следует и из соотношения неопределенно стей для времени и энергии). Поскольку для реальных

фотодетекторов	величина	l/Af очень мала (~10~1 3 —
Ю - 1 4 с), будем	ею в дальнейшем		пренебрегать и рас
сматривать поток фотоэлекпрояов			с точно определенны
ми моментами	появления.

3.2. Статистические характеристики потока фотоэлектронов

Рассмотрим характеристики потока фотоэлектронов, которые будут в дальнейшем использованы при синтезе устройств оптимальной обработки сигнала на выходе фотодетектора и при вычислении характеристик прием ников с фотодетектированием.

Чтобы получить результаты, пригодные для анализа как одноканальных, так и многоканальных (типа фото-

104

катода передающем телевизионной труокп или диссек тора) фотоприемников, будем сразу рассматривать про странственно-временной поток фотоэлектронов, обозна чая совокупность пространственно-временных координат точки'вылета электрона через s.

В соответствии со сказанным примем, что поток фо тоэлектронов при регулярном световом потоке является пуассоновским. Для такого потока вероятность появле ния ів рассматриваемой области Q п электронов в точках

si,..., sn записываем в виде
Pn(s,. ...,s„) = v(s1 )...v(sn )exp j—jv(s)fifsj,	(3.2.1)

где v(s) —средняя плотность электронов в точке s, так что v(s)ds — среднее число электронов в ds. Плотность v(s) связана с текущим значением интенсивности све тового потока соотношением

V (s) = V (г, t) = 2 . J у (г, to) К (Ісо) &Ш dm	(3.2.2)
о

где у (г, ы) — спектр поля в рассматриваемой точке фо тодетектора; К(іа)—частотная характеристика эквива лентного фильтра, учитывающего зависимость чувстви тельности фотодетектора от частоты;

%а\К{к>)\*=уЫ)

(3.2.3)

— квантовая эффективность фотодетектора. Как указано в предыдущем параграфе, моменты появления фотоэлек тронов можно определить с точностью до величины, об ратной полосе 'пропускания фильтра 1/Д/. Этой -неопреде ленности соответствует произвол в определении фазовой характеристики эквивалентного фильтра, однако вопрос о виде фазовой характеристики возникает только для очень широкополосных световых сигналов. Для узкопо лосных сигналов

Удобно для дальнейшего комплексную функцию под зна ком модуля в (3.2.2) обозначить через z(s). Тогда v(s) = = |z(s)|a.

105

Распределения	p„(si, ... , s„ ) для флюктуирующего		светового
потока во всех рассматриваемых		случаях (Я-представимые операто
ры плотности поля) получаем из		(3.2.1) усреднением по v(s)		{z(s)).
Это усреднение удобно провести,		пользуясь, как это сделано		в [45],
аппаратом производящих функционалов [54, 55].
Производящим	функционалом	совокупности случайных	точек на
зывают функционал

Ч"(*)] = ( П П + °	to)A=f	J	-	J А . (*.,-. O X
\,-_,	/ п = 0	s
х П	[ 1 + ^ ( ^ ) 1 ^ .			(3.2.4)

Производящий функционал суперпозиции независимых потоков слу чайных точек равен произведению функционалов отдельных потоков.

Из выражения для производящего функционала довольно про сто получить выражения для таких характеристик потока, как рас пределение числа и моментов точек па интервале

Рп (Si.	д"
Рп (Si.	да,	...дап
					(3.2.5)
распределение числа точек па интервале
Р(п) =	-jjj- J.	. . j <*B(s,	sn)dsx	ds„ —
Р(п) =	-jjj- J.	. . j <*B(s,	sn)dsx
		dn			(3.2.6)
					(3.2.6)
Характеристическая функция для суперпозиций				и (si)	возмущений
				/
и (s), порождаемых	случайными точками,		имеет вид
					(3.2.7)

Для пуассоновского потока производящий функционал выражается формулой

Ln	[» (s)] =	exp J J" V (s) V (s)	ds \	(3.2.8)
Легко видеть, что результат усреднения			Ln\v (s)] по	v (s) ана
логичен выражению для характеристического			функционала	4?v [ѵ] поля
(s):
L	[v (s)} =	(Ln [v (s)]) = 4fy [-iv (s)].		(3.2.9)

106

Исследуем случай поля 2 (s), являющегося суперпозицией . регу лярной составляющей z (s) и случайной гауссовой составляющей К {s).

Будем считать Ç = 0, a К£к = 0, t*jKk = Rjh (Kj = K(sj)). Опреде лим »z-мернуго характеристическую функцию величин |zj|2 = [z (sj)|2

равенством

2 * ^ } d% ...

= d e t | | / ^ | | d

e t | K - k - / 7 i ^ h | |

Xexp j t

JJ^M'-J] G ^ z * , ^ , , } ,

(3.2.10)

/. A

где

|t С? j л H — матрица,

обратная

Над,-*—ir|jô,-fc||,

||ш3-л|| — матрица,

обратная

\\Rjhh

Произведение

определителей в (3.2.10) равно, очевидно,

det llôjft—i'rijRjftll.

Для более удобного представления определителя введем фор

мально параметр а и рассмотрим

à In det \\SSh

— <7ijBJ?Jk||

— i

det ||8fc -

ii\flRiK\\

/ '

/.ft

где

Mjt h

— миноры

рассматриваемого

определителя,

Wjh

— эле

менты обратной матрицы. Элементы

Gjh (а) =

R}iWlh

удовлетво-

ряют уравнению

G f t - « S ^ % Ä l k

Rft.

(3.2.11)

С учетом этих соотношений из (3.2.10) получаем

("»Ii. ••• , ""Im) =

exp

І S

7)t

Gjj

(a)

rfa

+ j

Ц1 I zj | 2 —

— 2

I G/* o( l ) z * , W f c \ .

(3.2.12)

Для

получения

характеристического

функционала

(3.2.11),

(3.2Л2)

остается

перейти

пределу

при Im—>-оо

стремящихся

к пулю расстояниях между точками. В результате с учетом (3.2.9) для производящего функционала находим

[v (s)} =

exp < J dsv (s)

\ z (s) \2 +

j" G (s,

a) da

- f ^ J G ^ s . , ;

1) z* (sj

7(s~2) v (s,) іі (s2 ) dstds*

(3.2.13)

где G (si, s2 ;

молено найти из уравнения

G ( S i ,

s2 ;

a )

—

j G (s,,

a)v[s)R(s,

Sî)ds

R[st,

s2).

(3.2.14)

Из

G(si, s2 ; a) и R(si,

s2 )

удобно выделить

множители,

свя

занные с интенсивностью:

G (s,,

s2 ;

a) =

Kfj. (s,) y. (s2 ) g

s2 ;

a);

(3.2.15)

R(su

s2 ) =

VA p.(s1 )p.(s2 )p(s1 , s2 ).

(3.2.16)

Тогда с учетом (3.2.15), (3.2.16) выражения (3.2.13), (3.2.14) при

обретают следующий вид:

I[o(s)] =

e x p H

І Г ( і Г | а

(х (s) J g ( s ,

s; o)rfo

o(s)ds +

JJ^rfsi. s»;

K M S . I

2 (s2 ) о (s,) о (s2 ) rfs,c/s2

;

(3.2.17)

g(Si,

s2 ;

a) — a j g ( s , , s;

a) p. (s) ti (s) p (s,

s2 )

ds=p(s, ,

s2 ).

(3.2.18)

Дальнейший анализ сложен, и поэтому перейдем к рассмотрению

частных случаев.

Уравнение (3.2.18) при произвольных ц-(я) и

v (s)

удается

ре

шить только для случая медленных флюктуации сигнала

(p(si, s2 ) =

=ll). При этом,

если г = 0 , то

g (s,, s2 ; a) =

1 — a Ç p. (5) v (s) as

L[»(s)I,

(3.2.19)

откуда, используя

(3.2.5), получаем

Pn(si

sj=n\-

(j. (s,) ... p.

(sn)

(3.2.20)

Для числа электронов в этом случае, как легко видеть, .получаем распределение Бозе — Эйнштейна.

108

Смотрите также файлы

Лачинов, Н. В. Клепка и чеканка стальных конструкций учеб. пособие.pdf

Лидер действует..pdf

Магалинский, В. Б. Методы статистической теории равновесных состояний.pdf

Малахова, Т. П. Новые рубежи социалистического соревнования в большой химии Кузбасса учебное пособие.pdf

Марей, А. Н. Глобальные выпадения цезия-137 и человек.pdf

Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно