Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
удовлетворяющий, очевидно, тому же начальному условию, удовлет воряет и дифференциальному уравнению
|
|
|
|
д-~ |
= — Х [2, |
Ъ]1>і = 2?! |
- f e % e Ö |
= |
|
|
|||||
|
|
= |
(- |
Х[2, |
Ѣ] |
+ |
3 |
+Ъ + |
X [2, |
В]) ? , = ( Я + 2 ) . |
|||||
В |
последнем |
|
равенстве |
|
использовано |
|
соотношение |
[^А, |
5] = |
||||||
= |
Х[Л, ß ] |
e M , |
вытекающее из легко доказываемого методом индук |
||||||||||||
ции равенства \2п, |
В] = п\2, |
Ѣ] |
2п~1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Представляя |
с помощью |
(4.1.6) |
|
<D[r|(s)] |
в виде |
|||||||||
|
|
|
|
®h(s)] = |
e x p [ - - i - J h ( s ) | a * ] X |
|
|
||||||||
|
|
|
X |
(exp { i |
J [т, (5 )â+ (5) _|_ T,* (s) a (s)] ds] )> |
|
|
||||||||
подставляя |
в это выражение |
(4.1.1), |
перегруппировывая |
||||||||||||
члены и вновь используя (4.1.6), получаем |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Ф= fom |
= |
Ф, [к (s)] Ф„ [-Q (s)] exp { - i - X |
|
|
||||||||
где |
|
|
|
X j i h ( 5 ) | 2 - | x ( 5 ) l 2 ] d s | , |
|
|
(4.1.7) |
||||||||
|
|
x(s') |
|
= ^[u*(s, |
|
S')H(S) |
— Ü(S, s') T,* (s)} ds, |
(4.1.8) |
|||||||
— |
Ф,[ті |
(5)] |
= |
(ехр |
{i |
J h ( s ) ö + ( S ) + V = ( s ) ö ( 5 ) ] & } ) |
|
(4.1.9) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
характеристический |
функционал, |
описывающий |
соб |
|||||||||||
ственное |
излучение |
системы |
(не |
приведенный |
к |
нор |
|||||||||
мальной форме). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Характеристический |
функционал |
выходного |
излуче |
|||||||||||
ния полностью определяется характеристическим функ ционалом входного излучения, передаточными функция ми системы u(s, s') и v(s, s') и характеристическим функционалом собственного излучения.
В силу линейности системы оператор T>{s), описы вающий собственное излучение, линейно связан с опе раторами собственного излучения для отдельных атомов. Поскольку спонтанное излучение отдельных атомов -про исходит независимо, то при нахождении Фо[п] усредне ние нужно производить по различным атомам отдельно.
128
Поскольку число атомов, находящихся в одинаковых
условиях по отношению к полю, предполагаем |
большим, |
||
можно для Ф0[т) (s)] использовать гауссово |
приближение: |
||
Ф0 [т) (s)] |
ехр І2/ Re jTJ (S) (6 (S)) ds |
- |
|
~ ~ H î |
7 1 ( S 2 ) ( [ * ( s J ' f + |
+ |
|
+ F(s,) 6 (s2) + V (s,) ö+ (s2)) ds,rfs2 j |
, |
(4.1.10) |
|
где [A, Ъ]+ = АЁ-\-ВА— антикоммутатор. Приближение (4.1.10) получено из произведения функционалов для отдельных атомов точно такими же преобразованиями, которые используют при доказательстве центральной пре дельной теоремы. Принимая это приближение, сводим
задачу к нахождению первых и вторых моментов b(s),
b+(s), которые линейно связаны с первыми и вторыми моментами излучения отдельных атомов.
В 'большинстве случаев фазы собственного излучения отдельных атомов полностью случайны и
|
|
<ß(s)) = |
(V(sl)b(st))=0. |
|
|
|
(4.1.11) |
||
Тогда |
решение |
задачи |
сводится |
к установлению связи |
|||||
между |
средним |
значением |
[6 (Sj), |
b + ( s 2 ) ] + |
и |
коммутато |
|||
рами, |
определяемыми формулами |
(4.1.3), |
(4.1.4). Если |
||||||
выполняются условия |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- (b (s,) Ъ+ (s.J) > |
0, |
(S* (Slfb |
(s2)) S* 0, |
|
(4.1.12) |
|||
то справедливо |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
||
|
( [ % , ) , |
Ь+ & ) ] + > > 1 |
(И*,), |
> (s2))) |
I, |
(4.1.13) |
|||
и модуль правой части формулы (4.1.3) определяет минимальный уровень шума линейной системы, который достигается при условии, что хотя бы в одном из нера венств (4.1.12) выполняется равенство.
Рассмотрим первые и вторые моменты спектра излу чения отдельного атома <7(ш), считая состояние среды стационарным. В соответствии со сказанным в § 1.4, спектральной составляющей q(a>) (CÙ>0) ставится в со ответствие оператор <7+(ш), а составляющей q(—со) — оператор q{a).
9—220 |
129 |
Рассмотрим первые и вторые моменты (/(со), с/+(со) для стационарного состояния системы. Это условие пред ставляется вполне выполнимым для всех рассматривае мых типов устройств, включая и параметрические. Естественно считать, что в квантовом усилителе переход ные процессы, связанные с воздействием накачки, уже закончились к моменту прихода сигнала. В параметри ческих системах влияние накачки приводит к нестацио нарному излучению на частоте накачки. На излучение на других частотах, которое происходит в таких устрой
ствах, накачка |
влияет, в основном, через |
нагреваниесре- |
||||||||
ды, так что в установившемся |
режиме |
можно |
считать |
|||||||
состояние не только стационарным, но и равновесным. |
||||||||||
Представим, как и в § 3.1, q{t) в виде |
|
|
||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где а (Б,, |
е2 , t) — оператор |
перехода |
из состояния | е 2 ) в |
|||||||
состояние |
|е,) |
(s —энергия |
|
атома). |
В стационарном со |
|||||
стоянии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з(в„ |
в,, Q==|e,) |
( e j e x p ^ i ^ ^ p f ] , |
|
||||||
|
|
(з(е,, е,, 0) = |
Р(г,)5(е, — в,). |
|
||||||
Используя эти соотношения, получаем |
|
|
|
|||||||
(?Н) = ( ? К ) ? К ) ) = |
<?+ Ы ? + |
К)> = 0 , |
(4.1.14) |
|||||||
(? О»,)?* К ) ) = |
« |
j |
Р (О I я (*, |
« + %«,) I2 X |
||||||
|
X |
A (Е ) A (s |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
+ fo»,) dtb (Ш і - |
со2) 3* 0, |
(4.1.15) |
|||||||
<?+ К ) яЫ) |
= 4*?%]р(*+%%) |
I ? (в. в + M ) 2 ! |
X |
|||||||
|
X |
|
о |
|
|
|
ш2) > 0. |
|
||
|
A (s) Д (s + fro,) deS (о, _ |
(4.1.16) |
||||||||
Для системы, находящейся в равновесном состоянии |
||||||||||
(p(e) = Ce- s / f l ), из (4.1.15), |
(4.1.16) сразу |
следует соот |
||||||||
ношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<[?К). д+Ыи)=~(йЫ- |
|
f+ K)]>cth(M/26), |
(4.1.17) |
|||||||
лежащее в основе известной флюктуационно-диссипа- ционной теоремы [76], устанавливающей связь между
130
интенсивностью флюктуации в системе и мыимоіі частью функции линейной восприимчивости.
Для неравновесной системы типа квантового усили теля аналог соотношения (4.1.17) удается получить, если принять, 'что для выбранного диапазона значений со существенны только две энергетических зоны, в каждой из которых р(е) = const. Тогда
Ü ? K ) . ^ (»,)]+> = - 4 " <fê M . |
Ѵ+ К)]>. |
(4-1.18) |
где Д = И Р . - Р о ) / ( Р . + Ро) = ( л . - л < . ) / ( / 1 |
. + Л о ) ; |
Р.- РО И |
пь п0 — значения р(е) и средних населенностей для верх него и нижнего уровней энергии. Для других форм спек тральных линий соотношение (4.1.18) можно использо вать как приближенное.
Связь моментов 6 (s), b+ (s) и, q{^), q+ (ш) получается
простой, если в среде отсутствует параметрическое взаи модействие колебаний различных частот и со входит в число индексов выходной моды.
Тогда из (4.1.14)-(4.1.16) следует (4.1.11)-(4.1.13). При соответствующих условиях для антикоммутатора и
коммутатора 6 (s), Т>+(s) верны соотношения (4.1.17), (4.1.18).
Чтобы получить простые результаты для параметри ческих систем, предположим, что среда, в которой про исходит взаимодействие, прозрачная и находится в рав
новесном |
состоянии. Тогда первые и вторые моменты |
|
b(s), |
b+(s) |
обращаются в нуль и Ф0[ті (s)]s= 1. При этом |
в правых |
частях соотношений (4.2.3), (4:2.4) появляются |
|
нули |
и эти соотношения превращаются в условия, кото |
|
рым должны удовлетворять передаточные функции си стемы.
Рассмотрим последовательно характеристики выход ного сигнала для пассивного фильтра *\ квантового уси лителя, параметрического усилителя и преобразователя частоты. При этом для простоты ограничимся случаем, при котором различные типы колебаний одной и той же частоты проходят через систему независимо, так что s можно отождествить с со, а индекс типа колебаний опу-
*) Обычно в приемниках всю оптическую систему, предшествую щую фотодетектору, можно рассматривать как пассивный фильтр.
9* 131