Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

ным моментом этой постановки является введение сово­ купности «решающих» операторов

X

где \х} —собственный вектор совокупности измеряемых характеристик системы; л(о\х) — распределение вероят­ ностей для принимаемых решений б при условии, что из­ мерено X (рассматриваются рандомизированные решаю­ щие правила). Естественно считать, что совокупность

операторов х полная, так что каждое значение хне вырож­ дено. В противном случае система, подвергнутая изме­ рениям, еще «помнила» бы что-то о своем первоначаль­ ном состоянии, и измерения следоввло бы продолжать.

Оператор П (о) подобен оператору проекции (см. §1.1). Сходство становится тождеством, если %(bjx) принимает

только два значения: 0 и 1, т. е. если результатам изме­ рения X ставятся в однозначное соответствие те или иные решения о. Вероятность р(б|А,) принять ô в ситуации, характеризуемой параметром %, получаем в результате

квантовомеханического усреднения П(<5) по результатам измерения х:

р(о|Я) = Тг{?(Я)П(8)},

где р(Я) — оператор плотности, соответствующий си­ туации.

Усредняя функцию потерь г ( о , X) с помощью распре­ деления р(öIÀ.) и априорного распределения р-л{Ъ), по­ лучаем выражение для среднего риска

Я = ЭДр.(Я)г(8, А)Тг{р(Я)Й(8)}<Ш8. (5-1-2)

Далее синтез сводится к минимизации R выбором х (из всевозможных полных совокупностей операторов) и

п(8\х).

Исследовать задачу на минимум в общем виде не удается. В [86] рассмотрение доведено до конца лишь для двухальтернативного решения. В этом случае эле-

ментарными преобразованиями задача сводится к мак­ симизации

принимается в том случае, если полученное значение разности рі—YPo больше нуля.

Следует отметить, что для частного случая выбора между двумя чистыми состояниями системы при исполь­

[87]. Решение в этом случае удается довести до получе­ ния характеристик обнаружения. Полученные оптималь­

теристик обнаружения, легко обобщить на случай двух-

f>0

где f, \ f) — собственные значения и собственные функции

148

ной статистикой для принятия любых решений о состоя­ нии системы, удается решить в описанной постановке К. В. Хелстрома. Это можно сделать, если допустить, что для всех априори возможных X [см. (5.1.2)] существует представление (использующее собственные функции со­ вокупности эрмитовых операторов, поскольку речь идет об измерении физических параметров системы), диагоналнзирующее операторы шютности:

В этом случае именно совокупность величин z и являет­

*> Рассуждения на этом ѳтаіпе доказательства совпадают с ис­

пользованными при доказательстве теоремы 7.2 в [89].

149

гих случаях. Так, например, в задаче определения на­ правления на цель, угловое положение которой может меняться непрерывно, в качестве квазиоптималы-юго, можно использовать приемник, рассчитанный на диск­ ретные направления, для которых сигналы на приемной апертуре ортогональны. Такой принцип построения при­ емника очень часто реализуют на практике.

Обсуждаемое требование не выполняется в важной для практики задаче разделения сигналов от близкорас­ положенных целей, решению которой для классических сигналов уделялось и продолжает уделяться большое внимание. В квантовомеханическом случае пока не уда­ лось найти оптимальный приемник для этой задачи. Возможные постановки задачи синтеза и ограничения, связанные с кватовой структурой поля, будут обсужде­ ны в § 5.5.

Итак, описаны общие • подходы к задаче проверки статистических гипотез о квантовомеханической системе. В случае, если такой системой является поле, заполняю­ щее, вообще говоря, все пространство, немаловажно и то, какая часть поля считается доступной для наблюде­ ния. В работе К- В. Хелстрома ,[86] в качестве доступной для наблюдений системы рассматривалось поле в огра­ ниченном объеме — ловушка с затвором со стороны входной апертуры. В этой части подход К. В. Хелстрома близок к использованному П. А. Бакутом в (84, 85].

В работе автора ,[88] доступным для наблюдения счи­ талось изменяющееся поле на плоской апертуре. Эта ситуация ближе, по-видимому, к имеющимся на прак­ тике. Такой же случай был рассмотрен и К. В. Хелстромом в [90].

Результаты синтеза оптимального приемника для различных вариантов наблюдения поля (в объеме, на апертуре и т. д.), разумеется, получаются различными. Однако для поля в ловушке и на апертуре эти результа­ ты, как справедливо отмечено в (91], могут быть преобра­ зованы друг в друга, поскольку эти поля связаны взаим­ нооднозначно.

Процедура синтеза во всех случаях содержит два этапа. Сначала по оператору плотности поля во всем пространстве необходимо построить оператор плотности доступной для наблюдения части поля (подсистемы по отношению к полю), а затем .применить к подсистеме опи-

151

санную процедуру нахождения оптимального способа принятия решения.

Для большей наглядности сначала рассмотрим более простой случай дискретной совокупности мод, а затем задачу оптимальной регистрации поля на апертуре.

5.2. Оптимальный приемник для дискретной совокупности мод

Рассмотрим сначала случай, при котором исследуе­ мое поле представляет собой дискретную совокупность конечного числа (т.) мод. Будем считать, как и раньше, что оператор плотности поля представлен в виде

ния, совпадающая с классической функцией распреде­ ления для комплексных амплитуд; интегрирование про­ изводится по комплексным плоскостям CZJ.

Хотя по форме представление (5.2.1) диагонально,

нельзя рассматривать как вероятностную меру на мно­ жестве состояний |{«j}> из-за их неортогональности. Нужно искать диагонализирующее представление, свя­ занное с собственными функциями каких-либо эрмито­ вых операторов.

Рассмотрим два случая: гауссова сигнала и регуляр­ ного сигнала со случайной фазой при наличии аддитив­ ной гауссовой помехи с некоррелированными значениями

Nj — среднее число квантов помехи в у'-й моде, ||i?jftcll— корреляционная мятрица полезного сигнала.

152