Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Операции формирования достаточной статистики удобно представить в виде преобразований наблюдаемо­ го поля у (s). Согласно (5.2.5), (5.2.13) элементы доста­ точной статистики для гауссова сигнала есть /?.ѵ = оѵ + Ьѵ - где

п оля, при котором диагонализируются одновременно кор­

зами достаточной статистикой является совокупность величин /гѵ = pvps,=v, где

j j L * (s,, s2 ) L / * V (S,) (/ (sa) ds,ds2

1/2 (5.2.21)

- S0

158

Найденные соотношения показывают, что задача син­ теза сводится к решению однородных интегральных уравнений. Отыскать такие решения в явном виде удает­ ся, как известно, лишь в исключительных случаях. В остальных случаях приходится довольствоваться при­ ближенными решениями. Однако в данном случае ис­

можно ставить под сомнение допустимость приближений в таких задачах, поскольку преобразования сигнала, вы­ текающие из приближенных решений, физически невы­ полнимы.

Опровергнуть это утверждение, конечно, невозможно. Можно лишь противопоставить его категоричности сле­ дующие соображения. Разумеется, не удается построить прибор, измеряющий одновременно неизмеримые величи­ ны. Поэтому фактически прибор, построенный для изме­ рения величин, выбранных по'результатам приближенно­ го решения задачи синтеза, будет измерять не их, а не­ которые другие одновременно измеримые величины. Эти

Применим полученные результаты к задаче отыска­ ния оптимальной обработки поля на апертуре. В каче­

При этом продолжительность наблюдения априори не ограничена. В конкретных задачах эта продолжитель­ ность определяется длительностью сигнала. Такой спек­ тральный подход выбираем здесь из соображений удоб­ ства. Различие со случаем, при котором жестко ограни­ чено время наблюдения, не является принципиальным

159

для выяснения основных особенностей оптимальной об­

где размерность у (г, ш) выбрана так, что \y(r, t)\~ сов­ падает с плотностью потока мощности; а(р,ш) — опера­ тор уничтожения, соответствующий элементарной пло­

а+ (р, ео) = а(р,—со) подчиняются перестановочным соот­

ношениям (1.4.6).

Сопоставляя (5.3.1) и (5.2.11), замечаем, что роль суммирования по индексу в (5.3.1) играет интегрирова­ ние по р, а со играет роль индекса, значения которого

одинаковы и в â(p, со), и в у(г, со). Поэтому ядро K(Si, S 2 ) в данном случае имеет вид

эта функция имеет спектр, постоянный в области про­ странственных частот \p\<k и равный нулю вне этой области. Пренебрегая краевыми эффектами вблизи гра­

160

При этом ядро оператора, обратного оператору с ядром (5.3.2), запишем в виде

достаточно узкополосными, чтобы пренебречь изменени­ ем энергии кванта в пределах полосы сигнала, получаем

—оо S

(5.3.5)

Величины | ß j 2 образуют достаточную статистику.

Этот результат совпадает с получающимся при клас­ сическом рассмотрении (умножение на ожидаемый сиг­ нал и интегрирование). Подчеркнем, что в рассматривае­ мом высокочастотном приближении (когда длина волны мала по сравнению с размерами апертуры) одновремен­ но измеримыми оказываются величины ßv , соответствую­ щие просто ортогональным (без всякого веса) сигналам

а также сигналам на неперекрывающихся частях апер­ туры.

Рассмотрим теперь случай гауссова поля, состоящего из излучения фона с равномерным распределением по углам прихода и полезного сигнала в виде пакета пло­ ских волн со средним направлением прихода р0 . Закон изменения сигнала во времени будем считать стационар­ ным случайным процессом со спектральной плотностью среднего числа квантов Л^с(со), промодулированным функцией u(t). При этом функцию корреляции поля у(г, со) записываем в виде

ния фона на одну степень свободы (в элементарной пло­ ской волне); -ф(г, со) характеризует пространственную

161