Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Перейдем от комплексных амплитуд d,- к новому на­ бору амплитуд ß„ с помощью унитарного линейного пре­ образования, матрица которого ЦУ^ІІ составлена из соб­

' і

можно рассматривать как амплитуды ортонормированных негармонических колебаний, в виде суперпозиции которых представимы колебания рассматриваемой си­ стемы гармонических осцилляторов.

Операторы bv, b*. соответствующие амплитудам ß*v, ßv, обладают всеми свойствами операторов уничтожения

операторов {Ьѵ} и могут быть представлены в виде про­ изведений собственных векторов |ßv ):

|{«*}>=П|«*)=1Ш>=П|р,>.

зуется в произведение операторов плотности для типов колебаний с амплитудами ßv

Подставляя в (5.2.4) разложение (1.2.15) |ßv ) по соб­ ственным векторам оператора числа квантов

получаем

К" К"

"С + "ѵ )

!J]Pv(")l'0(«J- (5.2.6)

Согласно (5.2.6) оператор рѵ днагонален в представ­ лении чисел заполнения. Таким образом, для рассматри­ ваемого случая достаточной статистикой является сово­ купность чисел заполнения /?.ѵ для комплексных типов

колебаний с амплитудами ßv , связанными с амплитудами üj колебаний в исходных модах унитарным линейным преобразованием, диагоиализирующим корреляционную матрицу.

Совокупность {/гѵ} является, очевидно, достаточной

статистикой для принятия решения и тогда, когда допу­ скаемым гипотезам соответствуют гауссовы поля с ком­

общую систему собственных векторов. Логарифм функ­ ции правдоподобия для совокупности измеренных вели­

Рассмотрим теперь случай, при котором каждая мо­ да представляет собой суперпозицию регулярного сиг­ нала и гауссова фона, причем сигнал во всех модах имеет общую случайную фазу с равномерным распреде­ лением в интервале (0; 2л). Для упрощения предполо­ жим, что интенсивность фона для всех рассматриваемых мод одинакова. Реально это предположение обычно вы-

154

полняется из-за относительной узкополосности регуляр­ ных сигналов. В этом случае

взаимной ортогональности. При этом (5.2.7) преобразует­ ся в произведение распределений для различных ßv, при­ чем каждый сомножитель будет зависеть только от |ßj . Применяя в каждом сомножителе разложение | ßv> по |/гѵ> , легко убедиться, что если p(ßv ) зависит только от Iß,|, то достаточной статистикой является совокупность величин «v = |ßJ 2 . Этот результат верен и для совокуп­ ности m взаимно ортоганальных сигналов, что следует из вида использованного преобразования (5.2.9).

Распределение pv(/z) приобретает вид

о

Произведение распределений рч (яѵ ) определяет опти­ мальный способ объединения результатов измерений «ѵ

в тех случаях, если принимаемое решение касается всех сигналов в совокупности.

В рассмотренном случае доступными для наблюдения являлись амплитуды {щ}. Большой интерес 'представляет отыскание оптимальной обработки, когда наблюдается суперпозиция мод, представляющая поле в определенной области пространства например:

i

Поле в области 5 о не определяет {а;} однозначно и ха­ рактеризует некоторую подсистему поля в целом. Пер­ вым шагом должно быть получение оператора плотности для этой подсистемы.

Пусть У Ѵ (s)—ортогональная система функций в S0. Раз­ ложим у (s) по этой системе (считая, что это возможно):

где Яѵ — нормировочный коэффициент.

Потребуем, чтобы операторы*'уѵ , у* подчинялись та­ ким же коммутационным соотношениям, как и Oj, ay:

*' Напомним, что соглаоно введенным в гл. 1, обозначениям оператору âj соответствуют собственные значения a*j, поэтому в опе­

раторном аналоге соотношений (5.2.11), (5.2.12) коэффициенты за­ менены на комплексно-сопряженные.

156

Шмидта [23]. Заметим, что при этих условиях амплитуды Yv оказываются некоррелированными, если были не коррелированы амплитуды а,-.

Дополним систему функций vv (s) до полной ортого­ нальной системы функций во всем пространстве (дока­ зательство возможности дополнения см. в (3]). Такое построение можно осуществить, введя ортогональную си­ стему функций, полную по отношению к функциям, представимым истокообразно с ядром K(si, S2) в подпро­ странстве So, дополняющем 50 до всего пространства, и полагая эти функции равными нулю на So, а функции

У ѵ (s) считая равными нулю на So. Если подпространст­ ва S0 и So имеют разную размерность, то vv (s) следует домножить на о-функцию с аргументом, обращающимся в нуль на So. Полученную таким образом дополнитель­ ную систему функций обозначим {г^0> (s)}, а коэффициен­ ты в разложении поля по этим функциям — 7'°'.

Таким образом, весовую функцию р . ({YJ) в новом представлении получаем из имеющейся p({<*j}) по обыч­ ным правилам преобразования плоти 'сти вероятностей. Дальнейшая процедура синтеза не отличается от рас­ смотренной в начале данного параграфа.

157