Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
фазовую модуляцию поля на апертуре;
со
R*c (со,, ш2 ) = - i - j " W c (eu) U (со, - со) (7* (со, - со) й Ц (5 . 3 . 7)
и
с7(со)—спектр нормированного закона модуляции «СО- Задача отыскания достаточной статистики сводится в этом случае к'решению уравнения ( 5 . 2 . 2 0 ) , записывае
мого в виде
0 |
0 |
|
R* ( Г , CD, Г ' , CD') V ( Г ' , СО') dco'dr' |
|
оJ |
Sf |
= |
||
|
|
= |
ÄJtfe (r,r')V(r',<o)dr'. |
(5 . 3 . 8 ) |
Для отыскания решения прибегнем к ряду упрощений.
Будем считать, что |
условия, |
при которых |
справедливо |
|||
равенство |
(5 . 3 . 3) , |
выполнены. Тогда |
Ѵ(г, |
ш) |
удастся |
|
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ ( г ,со) = Ѵ ( с о ) е ' ф ( г ' ш ) , |
|
|
|||
причем для Ѵ(со) из (5 . 3 . 8) |
с учетом |
(5 . 3 . 6) |
получим |
|||
следующее |
уравнение: |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
5 j R*c |
(со, со') V (<•>') сісо' =2ф> |
(» - N (со)) V (со). |
( 5 . 3 . 9 ) |
|||
о |
|
|
|
|
|
|
Это уравнение удается решить для двух крайних случа ев: когда спектр /Ѵс(си) значительно уже или значительно шире спектра модуляции іУ(со). Результат для первого случая получается таким же, как и для регулярного сиг нала со случайной фазой. Соответствующая функция правдоподобия получается из функции правдоподобия
регулярного |
сигнала со |
случайной фазой |
усреднением |
||||
по амплитуде. |
|
|
|
|
|
|
|
В случае |
узкого спектра |
модуляции |
|
||||
|
|
|
+ |
0 О |
|
|
|
R * с (со,, « g « |
- ^ - ]/"У ѴС (СО ,) І ѴС (СО 2 )— |
j0 0 |
U (со) U* (ш2 -со,+со)й?со= |
||||
= K t f o M t f c K ) |
J |
I и (t) I2 |
e - ' ( - ' - ^ > ' Ä = • |
||||
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
= ѴЩ^ЖК) |
|
U0 (ш, - |
ш2). |
(5.3.10) |
|||
162
Выделяя из Ѵ ( ш ) множитель |
j.''/Vc (to) |
(V ( ш ) = ѵ / W 0 |
(u>) Ѵ ( ш ) ) |
||||||||||
и вынося |
/Ѵс (аз) |
из под |
|
интеграла, |
(5.3.9) перепишем в |
||||||||
виде |
|
yVc(co)5j't7o(cû—со') У (со') dec/= |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= 2іфи(й—W (ш)] Ѵ'((о). |
|
|
(5.3.11) |
|||||||
|
Аппроксимируем |
закон |
модуляции |
интеисивностей |
|||||||||
| « ( / ) | 2 ступенчатой |
функцией |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ = — 0 0 |
|
|
|
|
|
|
где |
J ] ( J C ) = 1 |
при |
I X | < 1/2 |
и [ ] ( л ' ) = |
0 |
при | J C | > 1/2. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
sin со - g - |
оо |
ц е _ ' ѵ ш Д . |
|
|||||
|
|
|
[/„ (ш) = |
|
^ |
V |
|
||||||
|
Используя |
|
условие |
|
/Ѵс(со + 2л/Д) «JVC (to), |
простой |
|||||||
подстановкой |
нетрудно показать, что в этом случае урав |
||||||||||||
нению (5.3.11) |
удовлетворяют функции |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
• |
д |
f |
|
2* |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
— I Ш — (X—г- I |
|
|||||
|
v |
' 4 |
» |
= |
^ |
|
|
|
|
|
|
е-'"'ш Л . |
(5.3.12) |
соответствующие |
собственным значениям |
|
|||||||||||
|
|
% = «ѵ |
|
J |
+NU^-). |
(5.3.13) |
|||||||
Постоянную А |
|
|
|
ftfx |
— |
из условия |
нормировки |
||||||
|
определяем |
||||||||||||
Окончательное |
|
выражение |
для V |
(г, <о) имеет вид |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н- |
sin-n-(cû — ш ) |
|
. |
|
|||||
V . (г. ») = |
к |
|
— (ш — Ш | А ) |
е ' * ^ » 1 - ^ . |
(5.3.14) |
||||||||
где |
|А |
|
|
|
|
|
|||||||
ш = |
(х2и/Д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
163
Достаточной статистикой является совокупность ве личин /гѵи. = 2*ѵ [ і гѵ и ., причем
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
= [ dm { drV* |
, (Г, to) у (Г, |
с о ) = |
— |
|
X |
|||
|
|
O |
S |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
ein (Cû — Cü.J -ô- |
.,, |
S | . |
|
|
||
|
X ± . \ d * \ — |
Ц _ і е - « + ( г . » ) + - д х |
||||||||
|
|
|
|
|
oo |
• |
|
|
|
|
|
X{y(r,cu)dr |
= |
Sù |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(/) = |
-ir j'ei t t 'dcoji ,(r,ai)e_ '"'i , ( r , w ) rfr. |
(5.3.16) |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Если для всех |
г на апертуре ехр {і [Ф (г, а> |
,)—Ф(г, со^)]}:^ |
||||||||
« s i , |
то |
У(/;) в |
(5.3.15) можно заліенить на Y (t): |
|||||||
|
|
M ' ) = f^(r.0e~""*( r 't O , l ) |
rfr. |
(5.3.17) |
||||||
Формирование |
достаточной |
статистики |
|
распадается |
||||||
на следующие операции: пространственную |
корреляцион |
|||||||||
ную |
обработку |
с |
опорными сигналами |
ехр[—іг|з(г, со )], |
||||||
пропускание каждого ц-го сигнала через фильтр с ча стотной характеристикой вида (sin я)/я и отсчет ннтенсивностей на выходах фильтров в дискретные моменты времени \ =ѵД. Эту достаточную статистику можно, очевидно, использовать как в задачах проверки гипотез и оценки параметров, так и в задачах фильтрации мо дулирующего сигнала.
Если рассматривается совокупность сигналов с орто гональными законами пространственной модуляции
- j - \ е х Р *— [Ь (г -ш ) - Ф* ( г . Ш Л d T = hb>
s
164
то достаточная статистика для всей совокупности сигналов может быть составлена из величин |zv [ i |2 , определяемых формулами (5.3.15), (5.3.16) с различ ными Фэ- (г, ш).
5.4. Основные особенности структуры
оптимального приемника, связанные
сучетом квантовых эффектов
Вэтом параграфе выделим и обсудим основные осо бенности оптимальной обработки поля с учетом кванто
вых эффектов и сравним эту обработку с получающейся
вклассическом случае.
Вслучае регулярного сигнала со случайной фазой обработка не отличается от классической. Если рассма тривается совокупность взаимно ортогональных сигна лов, то способ объединения величин лѵ , полученных для
каждого из них (см. (5.3.5)], определяется функцией правдоподобия, записываемой в виде произведения рас пределений (5.2.10). При произвольных значениях пара метров это выражение получается, очень сложным. Для сильных сигнала и шума ( М » 1 и N^>1) оно переходит в классическое (с обобщенными релеевскими распреде
лениями). Для У |
|
|
распределение |
(5.2.10) |
переходит |
|||
в пуассоновское |
и отношение |
правдоподобия |
приобрета |
|||||
|
Ѵ < С І |
|
|
|
|
|||
ет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л (я, |
пт) = П |
|
|
|
exp j J |
« In |
- л Л . |
(5.4.1) |
Для совокупности |
сигналов |
достаточной статистикой |
||||||
является |
в этом |
случае величина |
|
|
||||
В случае гауссова |
сигнала с широким |
спектром |
|
флюктуации элементы |
достаточной |
статистики |
опреде |
ляются формулой (5.3.15), а способ |
их объединения — |
||
165
формулой (5.2.7). Для отношения правдоподобия имеем
In Л [у (г, т = |
-±-^У*Цх)Г(Ц |
• X |
||
|
—со |
|
г* |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
Jn |
X |
|
|
|
|
|
|
X dt4L- |
^ in |
+ |
"ѵ |
|
1 + |
/V ( % |
|
||
|
|
|
||
где все обозначения те же, что и в § 5.3. Выражение для А(у(г, t)] можно существенно упростить, если заменить суммирование по \а интегрированием по частоте. В ре зультате, используя предположение о широкополосное™ флюктуации, получаем
|
|
0 0 |
/ |
|
|
|
|
In Л [у (г,*)]*» |
J Л |
J w(t,t |
— |
t')Y(f)dt' |
|
|
|
|
|
(0 I 2 |
M (со) |
(5.4.3) |
|
|
|
|
1 + N (со) |
||
|
|
|
|
|
||
где |
M((Ù) =Nc(cû)S/%m |
— спектральная |
плотность сред |
|||
него |
числа квантов |
сигнала за |
секунду; w(t, т ) — и м |
|||
пульсная переходная функция фильтра, квадрат модуля частотной характеристики которого медленно меняется
со временем и определяется |
следующей формулой: |
|
|
|
(5.4.4) |
1 |
+ |
\аМ*Т+Щ») |
Множитель l/fco обеспечивает измерение выходного сиг нала в числах квантов независимо от их энергии.
Если # ( W ) < 1 , |
M(<ä)\u(t) | 2 < 1 , то |
|
|||||
|Ktf,co)|2 |
Sftco In |
l+\u(t) |
, M (со) |
(5.4.5) |
|||
|
N (со) |
||||||
Такой вид весовой функции типичен |
для случая |
весьма |
|||||
слабых (по абсолютной |
величине) |
сигналов, когда кван |
|||||
товые эффекты играют существенную роль. |
|
||||||
Если, наоборот, |
(со) ^> 1, то |
|
|
|
|||
|
1 |
|
'I и (if)|g |
(со) |
(5.4.6) |
||
Sftw |
N (со) [N (со) + |
\и |
M (со)] |
||||
|
|||||||
166