Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

В режиме свободных колебаний системы осциллято­ ров такой функцией является любая координата систе­ мы. Формулу (1.2.33) можно рассматривать как раз­ ложение в ряд Фурье, если скалярное произведение двух комплексных функций времени определить сле­ дующим образом:

зом, величины ßi, ... , ßjt имеют смысл амплитуд негар­ монических колебаний, описываемых функциями {<ру(0}-

этим операторам, действительно принимают дискретные целочисленные значения, убедимся, рассмотрев их ха­

30

чтобы все операторы рождения предшествовали операгорам уничтожения. Этого можно добиться, используя перестановочные соотношения (1.2.32). Такое представ­ ление оператора в виде ряда упорядоченных произведе­ ний называют нормальной формой оператора [6, 7] и обозначают обычно как : Л :.

Итак, требуется найти коэффициенты Ci(q), где 9=іт), разло­ жения

е рт = g = Ц С ѵ (?) (6+ У V .

V

Дифференцируя обе части последнего выражения по q и используя

v = l

Почленно приравнивая коэффициенты рядов, получаем систему диф­ ференциальных уравнении

C'Aq)^^Cv(q) + C^](q),

причем, очевидно, Со((/) = 1. Решая уравнения одно за другим, на­ ходим

С , fa) = ( e « - l ) 7 v l

и, следовательно,

Из полученного результата уже ясно, что искомая

характеристическая функция будет зависеть от е и, следовательно, соответствует дискретному распределе­ нию вероятности для целочисленных значений nij. Тем не менее, вычисление характеристической функции до­ ведем до конца, поскольку и методика вывода, и окон­ чательный результат понадобятся в дальнейшем.

31

Используя (1.2.35), (1.2.27), (1.2.16), находим

{ß;}, {ß';}. В силу предполагаемой унитарности преобра­ зования (1.2.30) якобиан преобразования равен едини­ це и выражения типа скалярного произведения 2a';a*;,

входящие в показатель экспоненты, сохраняют в новых переменных прежний вид:

32

Если только одна из этих вероятностей отлична от нуля, то соответствующая функция fi (с точностью до несу­ щественного постоянного фазового сдвига) есть

и совпадает с произведением весовых функций в разло­ жении |/?.) по |<х) [см. (1.2.17)].

Приведенное рассмотрение показывает, что введен­ ными операторами rrij, bi% соответствующими представ­ лению колебаний в виде суперпозиции негармонических, вообще говоря, комплексных ортонормированных функ­ ций, можно пользоваться так же, как операторами чи­ сел заполнения и уничтожения квантов, соответствую­ щими реально существующим осцилляторам.

1.3. Квантование поля излучения

Наиболее простой путь перехода от классического к квантованному полю излучения заключается в сведении поля к эквивалентной системе гармонических осцилля­ торов. Первым этапом пути является уменьшение числа переменных, описывающих поле. Такое упрощение за­

В (1.3.1) использована гауссова система единиц и при­ няты обычные обозначения для напряженностей элек­ трического (Е) и магнитного (Н) полей, плотностей заряда (р) и тока (j) и для скорости света (с).

Вспомним, в чем состоит избыточность уравнений (1.3.1). Плотности тока и заряда в (1.3.1) не могут

быть произвольными, они связаны уравнением непре­ рывности

каким бы ни было поле А). Однако эта связь касается только переменной части р. Постоянная составляющая заряда может быть распределена в пространстве как

цированное по времени уравнение (1.3.1.1). Таким обра­ зом, если (1.3.1.1) выполнено в начальный момент вре­

ниями представить по-другому, воспользовавшись спек­ тральным представлением полей. Уравнения для спек­

a ü ( d i v E m - 4 n p J = 0,

где индексом ш отмечены спектры соответствующих функций.

Для <&ф0 это равенство совпадает с тем, которое получается преобразованием (1.3.1.1) по Фурье. Таким образом, для переменных составляющих Е и р, пред­ ставляющих собой суперпозиции всех спектральных составляющих с ш=^=0, уравнение (1.3.1.1) является следствием уравнения (IV). Для составляющих с ю = 0, т. е. для постоянных составляющих полей, представлен­ ных в спектрах слагаемыми в виде Ео(ш) (волнистая черта означает усреднение то времени), уравнение (1.3.1.1) нужно 'рассматривать как самостоятельное.

Число переменных, описывающих поле, уменьшают, вводя .векторный А и скалярный ср потенциалы. Вектор-

34