Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

где L4 —функция Лагранжа ѵ-го осциллятора, с (1.2.1),

видим, что при таком выборе координат «массу» ѵ-го осциллятора следует считать равной (4яс 2 ) - 1 .

В соответствии с этим операторы уничтожения и рож­ дения определим через операторы q и р аналогично (1.2.2):

Дальнейшая процедура квантования для одного осцил­

легко получить из (1.3.15), для оператора, соответствую­

взаимно сопряженные операторы, входящие в (1.3.17),

Легко показать, что вводимые при таком преобразовании комплексные моды ѵ'г (г) взаимно ортогональны, если не смешиваются колебания, имеющие различные частоты,

40

ниана (1.3.16) сохраняет свой вид при переходе к {6J.

При рассмотрении поля в неограниченном простран­ стве удобно в качестве комплексных мод ѵ/(г) рассмат-

без перемешивания мод, имеющих разные частоты, при котором выражения для операторов энергии и ком­ плексного векторного потенциала сохраняют свой вид. От сумм по номерам типов колебаний, естественно, нуж­ но перейти к интегралам, поскольку спектр собственных частот становится сплошным. Согласно (1.3.7) плоские волны должны быть поперечными, a k=wjc. Каждому k соответствуют две моды, поляризованные в двух орто­ гональных плоскостях или по кругу с противоположны­ ми направлениями вращения. В результате имеем

поляризациям; сокращение СО означает оператор, со­ пряженный предшествующему.

Перестановочные соотношения для операторов âj(k), получаемые при предельном.переходе от случая конеч­

Рассмотрим теперь' крантованное поле при наличии тока. Энергию системы«поле+заряженные частицы»

41

обычно представляют в виде суммы энергии поля и механической энергии частиц. Чтобы перейти к кванто­ вому описанию этой системы, в выражении для энергии координаты и соответствующие им обобщенные импуль­ сы нужно заменить операторами. Обобщенный импульс Ро частицы в поле отличается от обычного (произведе­ ние массы на скорость) [9]:

Ро=/"Ч + ~ - А ,

где А — векторный потенциал поля в точке, где нахо­ дится частица. Поэтому .выражение для энергии части­

где е — заряд, U— потенциальная энергия, Нмо — сово­ купность составляющих выражения энергии, сохраняю­ щих свой вид при включении поля, # в з — энергия взаи­ модействия.

Гамильтониан системы «поле+частицы» запишем в виде суммы гамильтониана поля без учета наличия

в гамильтониане взаимодействия, играющий основную роль в дальнейшем рассмотрении, к более компактному виду:

° J

V

Член второго порядка по А в (1.3.22) описывает, как оказывается, переходы в системе частиц с учетом двух фотонов одновременно. В рассматриваемых задачах та­ кими переходами можно пренебречь.

й... = - 5 ] і / р А + Я + > р ( г . 0 " , м * =

(произвольно переставляем операторы j и А, поскольку они характеризуют разные системы — частицы и поле, и в один и тот же момент времени должны коммути­ ровать).

Используя уравнение Гейзенберга (1.1.23) и переста­ новочные соотношения операторов аѵ , а*, учитывая так­ же уравнение (1.3.7) для uv (r), можно получить уравне­ ние для оператора векторного потенциала, совпадающее

с (1.3.6).

Из физических соображений представляется вполне естественным, чтобы операторы электромагнитного по­ ля подчинялись уравнениям Максвелла и, следователь­ но, уравнению (1.3.6). Этот результат вытекает из тео­ ремы Эренфеста [11]. Согласно этой теореме средние значения координат и импульсов осцилляторов подчи­ няются классическим уравнениям. Следовательно, сред­ ние значения напряженностей также должны подчи­ няться классическим уравнениям. Отсюда следует, что правая и левая часть каждого из уравнений (1.3.1), (1.3.6), взятых в операторной форме, отличаются на опе­ ратор, среднее значение которого во всех состояниях равно нулю, т. е. на нулевой оператор.

Рассмотрим в дипольном приближении оператор плотности тока j(r, t) для среды, состоящей из атомов, взаимодействующих между собой только через излуче­ ние. В этом случае

Т(г. 0 = 2 ф ( 0 8 ( г - г , ) ,

43

где {ri} — координаты атомов, q, (/) — оператор производ­

обычно применяемый при решении таких задач в не­ равновесной статистической механике [12—14].

Используя уравнения (индекс / опускаем, поскольку рассматриваем одиночный атом)

i%§=[q. На],

и подставляя интеграл от обеих частей .второго уравне­ ния в первое, получаем

Ограничиваясь линейным приближением по полю, за­ меним q(r) в правой части под интегралом (1.3.25) на qa(t). После интегрирования (1.3.25) по частям имеем

— тензорный оператор коэффициента линейной воспри­ имчивости для одного атома; а, ß—'индексы декартовых составляющих.

44

Практически при распространении излучения в сре­ де число атомов, находящихся в одинаковых условиях по отношению к полю, велико. Поэтому восприимчи­ вость среды определяют средним значением оператора (1.3.27) и в выражении для плотности тока можно

использовать операторы <7о(0> определяемые уравне­ нием

ное излучение среды.

Проведенное упрощение сводит задачу анализа си­ стемы «поле + заряженные частицы» к обычной электро­ динамической задаче, в которой свойства среды описы­ вают с помощью функции линейной восприимчивости отдельных атомов и операторов собственного излучения этих атомов. Этим результатом воспользуемся при рас­ смотрении характеристик усилителей и преобразовате­ лей частоты излучения.

1.4. Упрощенное описание поля при анализе приема световых сигналов

В данном параграфе обсудим упрощающие пред­ положения, вытекающие из особенностей типовых за­ дач приема сигналов. Совокупность этих предположе­ ний определяет 'Статистическую модель сигнала, исполь­ зуемую в дальнейшем.

Обычно в оптике приходится иметь дело со световы­ ми пучками. В световых пучках, амплитуда и фаза поля медленно меняются в плоскости, перпендикулярной вы­

описано двумя скалярными функциями, соответствую­ щими двум ортогональным (линейным или круговым) поляризациям, и представлено в виде суперпозиции плоских волн с близкими направлениями распростране­ ния. Такое описание поля удобно при рассмотрении излучения оптического квантового генератора, дифрак­ ции поля от удаленного источника" в ограниченном от­ верстии, поля от удаленного источника на апертуре при­ емного устройства и ряда других случаев.

45