Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

« * ( = + - г £ ) = о -

определяющее связь Е и А с точностью до градиента некоторой функции ср, поскольку rotVcp=0:

Потенциалы А и q> определяются уравнениями (1.3.1.1) и (1.3.1.IV), которые, как только что было по­ казано, не являются вполне независимыми. Поэтому в выборе потенциалов имеется некоторый произвол, ко­ торый устраняют, вводя дополнительное (так называе­ мое калибровочное) соотношение, позволяющее упро­ стить задачу.

Широко известны кулоновская (divA = 0) и лоренцовская ^div A - J — - ^ j - = калибровки [8]. Кулоновская

калибровка очень удобна при отсутствии токов и заря­ дов, и ее часто применяют при квантовании поля в сво­ бодном пространстве. В этом случае ср = 0, а А подчи­ няется однородному волновому уравнению. При наличии токов и зарядов кулоновская калибровка приводит к искусственному с физической точки зрения разделе­ нию тока и электрического поля на продольную и по­ перечную составляющие. Скалярный потенциал <р под­ чиняется уравнению Пуассона, поэтому соответствую­ щая составляющая электрического поля определяется распределением заряда >в тот же момент без запаздыва­ ния. Этот,'.в общем формальный, результат также нелег­ ко воспринимается с позиций привычных физических представлений.

Лоренцовская калибровка свободна от указанных недостатков: и векторный, и скалярный потенциалы под­ чиняются волновым уравнениям с плотностями тока и

времени, приводит к некоторым затруднениям при кван­ товании. Эти затруднения связаны с особой ролью вре­ мени в квантовой теории. Соотношение операторов

дф/dt и А, получаемое из уравнения Гейзенберга (1.1.23), отличается от калибровочного. Поэтому при квантова­ нии предполагают (1], что калибровочное соотношение выполняется в среднем для так называемых физически возможных состояний поля. Введение этих состояний и изучение их свойств усложняют изложение.

Поскольку основное преимущество лоренцовекой ка­ либровки— релятивистская инвариантность — для дан­ ного рассмотрения несущественно, воспользуемся пред­ лагаемым далее усовершенствованным вариантом кулоновской калибровки. Выделим, как это уже было

сделано, переменную рі и постоянную р составляющие

ной форме электростатическое взаимодействие зарядов. Статическое поле можно учитывать при квантовании через взаимодействие зарядов. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только переменных состав­

Уравнение (1.3.6) вместе с соотношениями (1.3.2), (1.3.3), (1.3.5) полностью определяют поле (за исклю­ чением электростатической составляющей). При отсут­ ствии тока это уравнение имеет те же решения, что и волновое уравнение при дополнительном условии divA = 0. В частности, такими решениями при соответ­ ствующих граничных условиях будут поперечные пло­ ские волны.

Следующим этапом перехода от классического к кван­ товому описанию поля явится построение эквивалентной

36

системы невзаимодействующих гармонических осцилля­ торов и выяснение связанных с этим ограничений.

Рассмотрим уравнение, являющееся преобразова­ нием Фурье (1.3.6) то времени при j = 0:

определенных граничных условиях этот оператор будет самосопряженным, и тогда из его собственных функций (см. § 1.1) может быць образована ортонормированная последовательность, полная по отношению ко всем функциям, удовлетворяющим тем же граничным усло­

дываемых на тангенциальные составляющие векторного потенциала А и соответствующего ему магнитного по­ ля H = rot А на поверхности 5, ограничивающей объем, занимаемый полем. Считая эти ограничения выполнен­ ными, воспользуемся разложением поля А (г, t) в ряд по собственным функциям uv (г) (типам .колебаний или модам) :

37

Функции uv (г) будем считать вещественными, что не нарушит общности. В силу известного свойства вещест­ венности собственных значений самосопряженного опе­ ратора комплексная собственная функция может быть получена только как линейная комбинация веществен­ ных функций, соответствующих одному и тому же соб­ ственному значению. Подставляя (1.3.10) в (1.3.6) и используя ортонормированность собственных функций, получаем бесконечную систему уравнений гармониче­ ских осцилляторов

?', + » ! ? v = ^ [ j ( r , 0 M r ) d r = 4 * c / v . (1.3.11)

Таким образом, уравнение (1.3.6) распалось на ряд несвязанных уравнений, каждое из которых соответст­ вует определенному типу .колебаний. Это еще не значит, что эквивалентные осцилляторы, описываемые этими уравнениями, не связаны через граничные условия. Только в случае линейных граничных условий их выпол­ нение для суммы (1.3.10) следует из выполнения этих условий для отдельных мод uv (r). В общем случае не­ обходимым и достаточным условием отсутствия связи является представимость функций Лагранжа поля в ви­ де суммы функций Лагранжа отдельных осцилляторов. Как известно [9], для электромагнитного поля функция Лагранжа имеет вид

L=:-L^(E°--H°-)dr. (1.3.12)

Подставляя в (1.3.11) выражения для напряженностей электрического и магнитного полей через потен­ циал А, используя тождество (1.3.9), как это уже было сделано в (1.3.8), и подставляя в полученный результат ряд (1.3.10), получаем

(1.3.13)

Перекрестные члены второй суммы (1.3.13) и вся она исчезают, если граничные условия таковы, что для лю-

38

бых функций и и V справедливо равенство

где индексами х и п отмечены тангенциальные и нор­ мальные по отношению к поверхности составляющие векторов.

Условие (1.3.14), гарантирующее выполнение усло­ вия (1.3.8), обеспечивает одновременно несвязанность эквивалентных осцилляторов и самосопряженность гра­ ничной задачи. Это условие выполняется, в частности, если тангенциальные составляющие электрического или магнитного поля на границе области равны нулю. Пер­ вый из этих случаев соответствует бесконечной прово­ димости ограничивающей поверхности, что часто прини­ мают при рассмотрении объемных резонаторов.

Часто рассматривают поле излучения в «безгранич­ ном» пространстве, пренебрегая влиянием условий на границе. Этот случай легко формально свести к рассмат­ риваемому, задав граничные условия типа (1.3.14) на бесконечно удаленной поверхности. Задание этих усло­ вий никак не влияет на изменение поля за конечное время, если в начальный момент поле отлично от нуля в конечной области пространства. При неограниченном увеличении размеров области, занимаемой полем, ди­ скретный спектр собственных частот, сгущаясь, превра­ щается в непрерывный. Это значит, что от бесконечного счетного множества осцилляторов переходим к конти­ нууму.

39