Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

В ограниченном пучке электрическое и магнитное поля приближенно перпендикулярны друг другу и оси

ского поля, измеряемая в гауссовой системе единиц.

В области, удаленной от источников излучения, опера­ торы амплитуд плоских воли изменяются по гармони­ ческому закону с определенной для каждого типа коле­ баний частотой (см. (1.3.11)]:

Подставляя (1.4.3) в (1.4.2), разделяя интегралы полу­ ченного выражения по частоте со = с& и направлению р = к/й и вводя операторы уничтожения для составляю­ щих по частоте и направлению

= -5Г j/-S-Ae-h r f A,Ja(p.-)e'*Pr rfp. (1.4.5)

Перестановочные соотношения для операторов а ( р , ш)

и а+ (р, <в) находим непосредственно из перестановочных соотношений для а (к) и а + ( к ) :

если эту функцию распространить на отрицательные

В соответствии с этим оператор спектра вещественной функции, совпадающий для положительных частот

с у+{г, со), для отрицательных частот должен опреде­ ляться соотношением

у+ (г, — ш) = у (г, ш) при ш>0.

Соответственно и

а(р, — ш) = а+ (р, ш) при и>;>0.

Таким образом, при спектральном представлении опера­ торов вещественных колебаний положительным часто­ там соответствуют операторы рождения, а отрицатель­ ным — операторы уничтожения квантов.

Для принятого способа записи -поля через плоские волны его состояние удобно описывать оператором плот­ ности ів когерентном представлении. В общем случае опе­ ратор .плотности запишем в виде

? = J Р ({* (Р. «»)}. {* (Р'. «')» X

где интегрирование проводится по пространству функ­ ций а(р, со). Ограничимся более частным случаем, когда

47

оператор плотности диагонален в когерентном представ­ лении [для краткости опускаем аргументы р, ш, у а (р, со)]

Формально можно представить в таком виде любой оператор плотности [15,16]. Однако в общем случае р(а) можно рассматривать только как обобщенную функцию.

описывают квазиклассические поля, т. е. поля, пере­ ходящие в классические при неограниченном увеличе­ нии числа квантов. К Я-представимым относятся, в част­

чения эти поля могут рассматриваться как классиче­ ские. Учитывать квантовые эффекты необходимо только

чение оптических квантовых генераторов. В литературе (см. библиографию в [16]) описай ряд квантовых моде­ лей лазера, приводящих к Р-представимым операторам плотности для излучения. Здесь будем использовать одну из простейших моделей: представление поля в ви­ де регулярного сигнала со случайной фазой или супер­ позиции нескольких спектральных составляющих со слу­ чайными фазами (многомодовое излучение). Во всех этих случаях оператор плотности получают, подставляя в (1.4.7) классическое распределение для комплексных амплитуд.

Р-представление возможно для равновесного (тепло­ вого) излучения, которое для каждой моды описыва­ ется оператором плотности, диагональным в представ­

48

где Ѳ— средняя тепловая энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы (температура в энер­ гетических единицах). Перейти к /'-представлению мож­ но либо используя представление \п ) через | а ) , либо умножая (1.4.8) слева и справа на единичный оператор

Весовая функция р(а) для равновесного излучения представляет собой гауссово распределение для ком­ плексной амплитуды а:

класса некогерентных источников света излучение мож­ но считать локально равновесным с разными темпера­ турами (разными <п>) для каждой частоты и направ­ ления. Как следует из (1.4.9), для этого достаточно, что­ бы распределения для комплексных амплитуд различ­ ных мод были гауссовыми и не были связаны между собой. Гауссово распределение получается, как извест­ но, в пределе, т. е. для суперпозиции большого числа независимых составляющих поля. При .рассмотрении суперпозиций необходимо учитывать следующее свой­ ство Я-представимых операторов плотности: если ампли­ туда а есть сумма двух слагаемых аі-Ьсхг и при фикси­

Этот результат, без труда обобщаемый на многомер­ ный случай, показывает, в частности, что оператор