Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

22

У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I

§ 1.2. Свободное движение. Первые интегралы исходной системы и решение ФПК-уравнения

При отсутствии шумов уравнение (1.13) имеет вид

д 1я р

v

4

9 In р

v

dfi

( 1.22)

dt

A

h

дх.

1

~~ А

дх.

 

г=1

 

г=1

1

Это уравнение описывает изменение плотности распреде­ ления в фазовом пространстве при случайных начальных условиях, заданных начальным распределением (1.3).

Допустим, что для исходной системы дифференциаль­ ных уравнений, которая при отсутствии шумов имеет вид

 

ii + U (%,

•••, ®п, 0 = 0,

 

(1.23)

известно п

линейно

независимых

первых

интегралов

■ф, (хи

..., хп,

t) =

ch

] =

1, 2, ...,

п.

(1.24)

Покажем, что для систем без прямых нелинейных свя­ зей, для которых уравнения (1.23) имеют форму

П

^

"I" Фг (р^Ъ • •

^4+1' • *З'п) = О

-»и 2 есть Функция времени или постоянная, общее t=i

решение ФПК-уравнения (1.22) имеет вид

(

п

 

1пр = Т (ф 1, . . . , ф „)+

щ -dt,

(1.25)

у

i —1 i

 

где Ф (фх, ..., ф„) — произвольная функция первых инте­ гралов (1.24). Действительно, полные производные пер­ вых интегралов (1.24), определенные с учетом уравнений движения (1.23), равны нулю:

о. (1.26)

dt

Подставляя выражение (1.25) в (1.22) и учитывая (1.26),

§ 1.2]

СВО БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е

23

получаем тождество

v а т

^

 

 

/

v

 

aiF

 

_

 

агь,

at "т А

дх.

&

>'1

^А

 

агь. аж^7.

~

 

 

 

 

1=1

 

1=1

 

1

 

 

 

_ у а ^ / ^ _ v ^

/lj +

, V ди

 

— А

э-ф, I

аг

 

^ аж.

аж.

 

 

j = l т 3 '

 

 

г=1

*

1

г=1 »

Решение (1.25)

или

 

 

 

 

 

 

* n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р =

exp [ т (i)jj, • • •, 4 0

+

^ S

Й Л ]

У

h dxi *

(4-27)

содержит п линейно независимых первых интегралов и яв­ ляется общим, так как удовлетворяет произвольному на­ чальному распределению. В самом деле, для удовлетво­ рения условия

In р 0 fa , ..., хп) =

¥

(%, ..., фв),

= т|){

fa ,

.... хп, 0),

достаточно задать

¥

в виде

 

 

 

 

^ (^1*

•••»’Фп) =

Ро (%>

•••»%n)t

 

где

 

 

 

 

 

 

 

Zj = *((*!>!, .... Ч»п>-

 

 

 

По условию якобиан

a^j I отличен от нуля

и

соотноше-

 

 

дзск \

 

 

 

 

ния (1.24) млогут быть разрешены относительно ж*; в част­ ности, при t =- 0

Xi = Z, (clt . . . , Сп ) = Zj . . . , l^ n )’

Если известно к < ^ п первых интегралов исходной си­

стемы уравнений без прямых нелинейных связей, в част­ ности один первый интеграл, то выражение

t n

 

 

р = exp [ ‘F (t|>i, • • Ю + I 2

•

(1-28)

о i==1 1

удовлетворяя ФПК-уравнению, является его частным ре­ шением.

24 У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I

Распределение (1.28) будет существовать в системе,

если начальное распределение имеет вид

 

Ро (*!,

хп) = exp № (ih,

Tpft)],

i|>j =

 

 

=

^i (®i*

0).

(1.29)

Если первые интегралы не зависят от времени,

 

 

(*®1» •••> ^n)

~" *-«>

П

Q.

 

 

 

и система является обобщенной консервативной,

^ = 0,

то как общее (1.27), так и частное (1.28) решения не зави­ сят от времени. Такие распределения вероятностей будем называть равновесными стационарными или просто рав­ новесными.

Если уравнения исходной системы имеют каноничес­ кую форму:

^

= _ ^ .

dq.

_ д Н г

(1.30)

d t

dqi ’

dt

dpi ’

 

где Нг — функция Гамильтона (индекс «г» введен для от­ личия от обозначения энтропии), qt — обобщенные коор­ динаты, Pi — обобщенные импульсы, то ФПК-уравнение

принимает вид

 

 

дР

■

у

д

 

 

 

 

 

at “•

& dq.

дрХ

 

 

 

 

 

i—1

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

др .

VI

др

дН р

„

Qp

дН г

 

д t ”•

^

dq.

dp.

^

dp.

dq.

 

 

i = l

 

 

i = i

‘ i

чг

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

(1.31)

В статистической физике это соотношение называется

теоремой Лиувилля

[1.14].

 

Канонические системы (1.30) относятся к классу обоб­

щенно консервативных систем, так как здесь

ди

V J W l _ у * н г = 0.

2дх.г

^ idqidpi

S i dgidpi

S 1.2]

С В О БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е

25

Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то уравнения (1.30) имеют первый интеграл Н г = const

и согласно предыдущему существуют равновесные стацио­ нарные распределения вероятностей

Р = exp [V (Яг)1,

(1.32)

где Y — произвольная функция. В этом легко убедиться прямой подстановкой в (1.31).

Рассмотрим теперь несколько примеров нахождения равновесных распределений вероятностей путем исполь­

зования первых интегралов.

 

 

 

1.

Свободное

вращательное

движение твердого тела

описывается уравнениями Эйлера

 

 

 

Jx^x + ( /2— /у) (0уЮ2 =

0,

 

 

х

Л )

=

0 )

 

JZ

"4" (/„

J х)

— 0,

для которых известны первые интегралы: интеграл энер­ гии

J Х®х 4” j yft)y 4“Jz® z — С1

и интеграл момента количества движения

 

JW x + /уСОу +

J\(a\ = с2.

 

При использовании

обозначений

 

W.T

’ Х 1'

СОу — Хпу

(02 — х3,

(1.33)

я 123

я 213

JX Л

_ Jy Jx

 

Я 312 —

 

эти выражения принимают вид

 

i \ 4- «123^2^3 =

0,

^ 1 = Jx?\ + JyX\ + J zx\,

(1.34)

4"

= 0, Фг = J хХ\ 4~ J v x 2 4" J z x з-

 

±3 4- ^312Х 1Х 2 = о,

Система является консервативной и согласно предыду­ щему имеет стационарные? равновесные распределении-

26

У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА

[ГЛ . I

вероятностей

 

 

р (со„ co„, щ) =

 

 

=

exp [VF {JX(&X"Ь J У®У~Ь ^z®z> Jx®x ~Ь J уЛу "Ь ^гОг)1|

(1.35)

где Y — произвольная функция, но такая, что условие

нормировки (1 .1 1 )

выполняется.

 

 

Таким образом,

если начальное распределение компо­

нент угловой скорости твердого тела может быть представ­ лено в виде (1.35), то это распределение сохраняется неогграниченно долго.

Для тела с эллипсоидом инерции в виде эллипсоида вращения (Jv = J z, J х ф J у) любое симметричное отно­

сительно начала координат и равномерное в экваториаль­ ной плоскости (сечение плоскостью yz поверхности р =

= const есть окружность) распределение вероятности яв­ ляется равновесным. Действительно, это распределение может быть представлено в виде

exp {'F [ / ж<в| J у (Юу + СО*), + Jy (®у "Ь (О*)]}

путем подбора функции Чг. Для аналитических функций это вытекает из того, что при указанных условиях р 0

может быть представлено в виде целого степенного ряда двух аргументов: уг = со| и у2 = со* + col. С другой сто­ роны, коэффициенты разложения в ряд по степеням уъ уг функции

exp[xF(Jxyl + J vy2, Л уг + J vy2)]

(1.36)

линейно независимых (по условию J y Ф J x) сумм J ХУ\ +

+ 1уУъ ЛУг + JyVi могут быть сделаны любыми путем

подбора функции Y.

Итак, для тела с эллипсоидом инерции в виде эллипсо­ ида вращения относительно оси х любое распределение

вероятностей, симметричное относительно этой оси, яв­ ляется равновесным.

Если телу с J v = Jz (гироскопу), помимо случайных

угловых скоростей, сообщено регулярное вращение со

скоростью Q* относительно оси

х, то согласно преды­

дущему

 

р = ехр {Ч7 [/х (Qx сод.)2 J y (со*

-)- со*), У* (Q* -f- сож)2

 

+ Jy (иу + ®z)]}-

Смотрите также файлы