Файл: Горелов, В. А. Механические колебания в радиоэлектронике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 58
Скачиваний: 0
- 31 -
баний конструкции, а также приведенную жесткость, приведен ную массу и приведенную силу, отвечающие каждой такой фор ме. При этом, чтобы вычислить наибольшую суммарную деформа цию, пришлось бы учитывать как разницу в форме отдельный слагаемых деформации, так и разницу в моментах времени, в которые каждая из деформаций достигает своего максимально го значения.
Практически, однако, часто ограничиваются исследованием од ной или в крайнем случае двух-трех форм колебаний конструк ции, которые рассматривают независимыми друг от друга.
Нередко оставление в расчетах того или иного числа форл колебаний определяется постановкой задачи. Так,например, известно, что перемещение точек системы в основном обуслов лено лишь первой формой колебаний, тогда как для вычисле ния максимальных напряжений в элементах конструкции помимо первой формы необходимо учитывать и высшие формы колебаний
Глава 2. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
2.1.Свободные колебания системы без учета сопротив ления
Наиболее общим видом системы, обладающней одной степенью
свободы, является масса Пі , связи которой допускают лишь вращательное перемещение около одной неподвижной%си (рпом»
2.1,а). Возможное перемещение такой массы |
определяется од- ^ |
ной координатой, например, углом поворота |
вокруг оси |
0.Частным случаем этого общего вида является систегла,
представляющая собой массу, перемещающуюся только прямоли
нейно» Т.ѳ. имеющую точку вращения в бесконечности (ряс.2.ір)
32 -
Обобщенной координатой такой простейшей системы, очевидно, является поступательное перемещение массы.
Рис.2.1. Схематическое представление одномассовой системы.
Обозначим через х координату, определявшую перемещение
массы TU , т.е. будем считать её положительной или отрица тельной в зависимости от того, находится ли масса справа или
слева от положения её равновесия. Буквой С обозначим коэф фициент жесткости (упругости) упругих связей массы, представ
ляющий собой коэффициент пропорциональности между деформаци
ей связи и величиной силы |
F , соответствующей этой деформа |
||||
ции. Отметим также, |
что коэффициент упругости С равен уси |
||||
лию, |
действующему на массу |
ГП при её |
единичном перемещении: |
||
F |
= |
сэс ; |
С = |
, |
С = F |х= I. |
Сила |
F |
, направленная во все время движения массы >71 к по |
|||
ложению равновесия и пропорциональная её смещению, называет ся восстанавливающей силой.
Потенциальная энергия упругих овязей при перемещении массы
"HL ва величину |
X |
выражается формулой |
|
|
п |
г |
с о т |
откуда С - г л |
217 х = I. |
|
|
|
|
|
- 33
Следовательно, коэффициент упругости системы выражается удво
енным значением её потенциальной энергии при перемещении, равном единице. Его размерность - сила, деленная на длину,
например |
кгс/сы |
|
|
|
|
||
В случае, |
когда обобщенной координатой является угол по |
||||||
ворота |
<f |
, а соответствующей обобщенной силой - момент |
|||||
всех сил, |
возникающих в упругих связях, относительно оси вра- |
||||||
я щения, |
выражения для коэффициента упругости |
C f |
будут иметь |
||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
2 |
C V - - M - |
, С ^ М | Г . , , П ^ ^ ; |
< V - 2 n U |
|||||
В этом случае |
Су |
имеет размерность момента силы,деленного |
|||||
на угол поворота, |
т.е. |
кгс.см |
|
|
|||
рад |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина, |
обратная коэффициенту упругости, |
называется коэф |
|||||
фициентом податливости связей. По своей сущности коэффициент упругости является строго положительной величиной, если иметь
в виду только восстанавливающую силу.
Если же под силой упругости подразумевается и сила отталкива
ния и, следовательно, коэффициент С принимает и отрица тельные значения, то его называют тогда квазиупругим коэффи
циентом. При колебаниях поступательного характера в соответ ствии с принципом Даламбера дифференциальное уравнение дви жения массы тѵ\ может быть написано как условие равновесия действующих на неё во время движения двух усилий, а именно:
реакции упругих |
связей, |
равной С*СХ , и.силы инерции массы, |
|
равной Ш - Х : |
|
|
|
т х +сх=о |
или ' |
X + 0>гх - 0. |
( 2.1 ) |
Для случая вращения массы вокруг неподвижной оси соответст
|
|
|
|
|
- |
34 - |
|
|
|
|
|
|
венно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
З у + Су-у - О |
f ш |
|
|
<р + 4>2<р = О. |
|
(2.2) |
|||||
Здесь |
(О = J |
, где |
3 |
- момент инерцш массы |
т . отно- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
сительно оси вращения массы. |
|||||
Общее решение уравнений |
(2.1) |
и (2.2) может быть цредставле- |
||||||||||
н о в в в д е |
|
х = Л с о і и і + Ъ К п й І , |
|
|
|
|||||||
где |
А |
и В |
- произвольные постоянные, |
определяемые по началь |
||||||||
ным условиям движения. Считая, |
что при |
{ = |
О |
X |
= Х0 и |
|||||||
І в = |
1Г0 |
f |
получаем: |
|
(Г = 0Го-COitit + |
^ |
Sin.oyé- . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вводя |
новые |
постоянные |
d |
и £ |
согласно условиям |
JT0= fl’SVnÉL, |
||||||
Га |
|
|
|
|
|
это выражение к более удобному |
||||||
|
= Ü-Cöj£ , приведем |
|||||||||||
виду: |
|
|
|
|
сг = |
а - х к ( ь і +в) . |
|
( 2.3 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В |
этом выражении величина |
CL |
представляет |
собой амплитуду |
||||||||
колебаний |
( GL = рГ0г+ |
|
), а |
£ - фазу колебаний массы |
||||||||
гл. , определяемую по формуле |
|
• |
|
|
||||||||
Полученное решение |
позволяет сказать, что движение массы |
|||||||||||
является непрерывным колебательным движением, имеющим сину
соидальный характер, т.е. является гармоническим колебанием.
.Амплитуда этого движения, т.е. наибольшая величина отклоне ния массы от положения равновесия, зависит от начальных ус
ловий движения. Что же касается периода Т колебаний, опре
деляемого частотой 6) , то он оказывается не зависящим от начальных условий.
На основании определения периодической функции согласно
(2.3.) имеем: |
|
2.Т |
|
T V Z T = z r f z f i |
0> |
||
" Г |
|||
ü> |
|
|
|
- 35 - |
|
|
|
Соотношение |
&)= |
показывает, что |
Q |
представляет |
собой |
угловую скорость колебательного движения. Величина 0 |
называ |
||||
ется угловой |
частотой |
этого движения, |
а чаще - круговой, или |
||
циклической, |
частотой колебаний массы. |
О |
имеет размерность |
||
рад/с. . Частота ^ |
в герцах связана |
с |
6) и Т зависимостями |
||
6); Т = Если ввести понятие статического пе
ремещения груза |
jrtT .соотьествупцего его весу Р = mcj , то |
|||
для периода и частоты можно написать и такие выражения: |
||||
Т = 2 г Г Е = |
|
|
; |
= 2 , r f X - |
’с.а |
» |
4 |
|
|
'c•§ |
’ |
£ |
|
|
Эти зависимости показывают, что период и частота колебаний
груза весом |
Р |
такие не, как период и частота математичес |
||||
кого маятника, |
тлеющего длину СГст » равную |
статическому |
пе |
|||
ремещению груза под действием его веса Р |
|
|
|
|||
Проанализируем далее, из?ленится ли колебательное движе |
||||||
ние массы, если помимо воостанавливающей силы |
на неё будет |
|||||
действовать еще некоторая постоянная сила |
Q |
, совпадающая |
||||
по направлению |
с осью |
X или противоположная ей. |
|
|||
дифференциальное уравнение движения массы |
ТТІ |
в этом случае |
||||
будет тлеть |
вид |
.. |
|
|
|
|
|
|
|
m X + с-х ± Q = 0 . |
|
|
|
Заменив силу |
|
Q произведением коэффициента упругости |
С на |
|||
некоторое постоянное |
по величине смещение |
^ |
,получим |
|
||
вс -hо г(х ± S') = о .
Осуществив теперь заілену переменного по формуле X iS-2,будем иметь ^ •+ = О Сопоставляя это уравнение с уравнением (2.1 ), приходим к зак
лючению, что постоянная по величине и направлению сила не из меняет характер колебательного процесса, а лишь смещает поло-
- 36 -
жение равновесия системы на величину |
£Sr JL_ |
|
|
|
С |
Примеры. |
а) Консольная балка с грузом |
на конце (рис.2.2$). |
|
Если считать, что реакция |
этой системы пропор |
|
циональна соответствующему прогибу балки ( а |
|
это справедливо в случае малых колебаний системы), то урав
нение .движения груза будет иметь вид |
(массой самой балки |
|||||||||
пренебрегаем, сопротивление |
среды также не учитывается): |
|||||||||
|
|
|
т з с |
+■ сое = |
О . |
|
|
|
||
Здесь коэффициент упругости |
С |
имеет |
значение |
С = |
* |
|||||
где E J - жесткость поперечного сечения балки при изгибе, |
||||||||||
•é - длина балки, а |
вес Р |
равен тп^ , |
дС- |
смещение гру |
||||||
за из положения |
равновесия. Для балки на двух шарнирных опо |
|||||||||
рах (рис.2.2,б) |
коэффициент |
С |
|
следует взять равным |
|
|||||
а для балки с жесткой заделкой |
по концам - |
|
|
^ |
||||||
б) |
Крутильные колебания вала с.дискал на конце (рис.2.2, |
|||||||||
В^* Уравнение крутильных колебаний системы, |
состоящей из не |
|||||||||
весомого упругого вала длиной |
■£ |
и жесткостью |
С = |
|
||||||
( (J - модуль сдвига, |
Эр ~ полярный момент инерции сечения |
|||||||||
вала), |
несущего на конце диск, |
момент инерции массы которого |
||||||||
относительно оси вала равен З г |
,получается аналогично: |
|||||||||
|
|
|
Э ? ср |
+ C-Cf = О . |
|
|
|
|||
Здесь |
(f> - угол поворота диска, |
а |
С- жесткость |
вала на кру |
||||||
чение. |
Если рассматриваются колебания двух дисков, насажен |
|||||||||
ных на |
одну и “ту‘же ось (колебания одного диска относительно |
|||||||||
другого) (рис.2.2,г), |
то в полученном уравненіи шесто |
Эг |
||||||||
надо подставить |
{2 2 ] |
величину |
|
I |
, где 31 и Эг |
-момен- |
||||
|
|
|
|
|
|
*Jz |
|
|
|
|
ты инерции массы первого и второго дисков относительно оси |
|
|
вращения. |
\ |
, |