Файл: Горелов, В. А. Механические колебания в радиоэлектронике.pdf

- 42 -

X = eе'п*(Лni ^c.^cji + Ъ к щ і ) = а.е’л?я'*.(ц{+ £) ?

ляемые по начальным условиям движения, а Ц=;\/б)г- и А

Полученное решение описывает свободные колебания системы, т.е. колебания, возникшие в результате того, что масса m

каким-то образом выведена из положения равновесия или ей со­ общена начальная скорость, после чего система предоставлена самой себе. Такие колебания еще называют собственными.

В найденное выражении величина d e играет роль амплитуды

колебаний. Легко видеть, что даже при самом малом сопротивле­ нии амплитуда колебаний с течением времени снижается до нуля, т.е. колебания носят затухающий характер. Отсюда рассматрива­ емые колебания часто называют затухающими.

Степень затухания колебательного процесса характеризуется логарифьлическим декрементом S’ , равным П. Т , где Т -ус­ ловный период колебаний массы, принимающий значение

Присутствие в знаменателе для Т члена, меньшего единицы, указывает на то, что условный период затухающих колебаний

больше периода соответствующих ему гармонических колебаний.

плитуда колебаний уменьшается по закону геометрической прог-

рессии со знаменателем 2 иГ . Действительно, отношение црѳ-

Это позволяет при необходимости опытным путем находить лога­ рифмический декремент колебаний:

один из членов в решении убивает быстрее другого (один из кор­ ней по величине больше второго), вследствие чего при больших

значениях времени t из двух членов практически остается

частных случая(рис.2.4 ), тлеющих практическое применение (на­ пример, в теории автоматического регулирования).

критическим. Такое название оно получило из-за того, что дан­ ный случай является траншей раздела возникновения периодичес­ кого и апериодического движений системы.

Как и в предыдущем случае, корни характеристического уравнения

- 46 -

именуется гармоническим осциллятором.

Система, которую представляет собой гармонический осциллятор,

является консервативной, так как в ней сумма потенциальной и

кинетической энергии остается постоянной во все время движения. Напротив, лтгиейттнй осциллятор представляет собой неконсерватив­ ную систему.

В заключение отметим, что изменение силы сопротивления пропорционально первой степени скорости не является единствен­

но возможным. Линейная зависимость сопротивления от скорости движения массы свойственна движениям с малой скоростью в жид­ кой или газообразной средах (отсюда название "вязкое сопротив­

ление") и движению электропроводящего тела в магнитном поле.

Такая зависимость интересна тем, что она позволяет до конца математически решить задачу. Поэтому если необходимо хотя бы приближенно оценить влияние рассеяния энергии, а зависимость сил сопротивления от параметров движения сложна или неизвест­ на, эти силы условно принимают пропорциональными перзой степе­ ни скорости движения объекта.

Среди других законов изменения сил сопротивления отметим силу трения, постоянную по величине (так называемое сухое трение), силу сопротивления, зависящую от квадрата скорости и т.д.

Интересно заметить, что в случае отрицательного сопротивления

(маятник Фроуда) амплитуды колебаний со временем возрастают, т.е. вместо затухающихколебаний получаются нарастающие коле­ бания |j2lJ .

Укажем также на один очень важный случай демпфирования колеба­ ний, когда поглощение энергии происходит не за счет внешнего демпфирования, а за счет внутреннего неупругого сопротивления материала конструкции Гзоі .

47 - •

Экспериментально установлено, что гипотеза Фойгта (1890 с)

о пропорциональности внутреннего трения в материале образ­

ца скорости деформации материала оказывается справедливой

только при наличии трения в вязкой среде (жидкости, возду­ хе), например, для амортизирующих прокладок из пенопласта,

стекловолокна и др. материалов, обладающих ярко выраженным пневматическим эффектом.

В применении же к демпфированию, возникающему вследствие

рассеяния энергии из-за необратимых микропластических дефор маций материала, эта гипотеза не подтвердилась.

Как показали опыты, затухание для подавляющего большинства материалов не зависит от скорости деформации, а, следова­ тельно, и частоты колебаний (т.е. зависимость полученная на основе теории вязкого трения не подтверждает­

ся на практике). Оказывается, затухание зависит только от

амплитуды вибрации. К таким материалам, в частности, отно­ сятся упаковочные материалы - пенополиуретан, резина, вой­ лок, фетр,цельнометаллические проволочные подушки и др., в которых отсутствуют пневматические эффекты. Для характерис­ тики демпфирования, осуществляемого за счет внутреннего не­

упругого сопротивления, вводят так называемый коэффициент

неупрутого сопротивления . При этом полная реакция уп­

ругого элемента определяется как сумма двух составляющих, каждая из которых пропорциональная деформации х и которые

Соответствующее дифференциальное уравнение свободных коле­ баний точки с учетом сил неуцругого сопротивления получает вид:

что неупругое сопротивление также приводи» к затухающим ко­ лебаниям системы, которые аналогичны колебаниям яри наличии вязкого трения с малым сопротивлением. Заметим, что декре­

мент колебаний и коэффициент у связаны соотношением £^2^ которое позволяет экспериментально определять величину у .

С этой целью записывают затухающие колебания системы и с по­ мощью графика колебаний вычисляют декремент колебаний S' , по которому и находят величину у .

Аналогичным путем вычисляют и добротность системы.

2.3.Вынужденные 'колебания

Рассмотрим колебания, которые происходят, когда на сис­ тему действуют внешние силы, являющиеся заданными функциями времени. Такие силы известны под названием Еозмущающих, а соответствующие им колебания получили название вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания являютол основный объектом теории,пос­ кольку именно возмущающие силы оказываются обычно источником колебаний приборов и их элементов.

Известны два типичных варранта возбуждения вынужденных колебаний: I) когда инерционный элемент испытывает дейст­ вие внешней возмущающей силы-так называемое силовое возмуще­ ние, 2) когда колебания возникают из-за движения точки под­ веса по заданному закону - кинематическое возмущение. Оба эти случая объединяет один важный гі^изнак*. поступление энер-

■гии извне. В результате они зависимы м^жду собой, так как мо­ гут быть выражены друг через друга.

-49 -

I.Силовое возмущение

Рассмотрим некоторую механическую систему, обладающую одной степенью свободы. Пусть на систему действуют восстанавливаю­

денные колебания)и общего интеграла соответствующего ему од­ нородного уравнения ( собственные колебания):

X = е * (ct Cöiu^ + Q Sfn Ц І )+Cj Sinpt *■Cf teopt. (2.7)