Файл: Горелов, В. А. Механические колебания в радиоэлектронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 68

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-

50 -

 

 

В решении (2.7) под С, >

Cz ,

, Q

следует понимать

произвольнее постоянные,

а

G)t=

- ц1 ( считается, что коэф­

фициент сопротивления

среды является

малой величиной,

т.е.

7 K C J

j этот случай наиболее часто

встречается на практи­

ке).

Коэффициенты

и Сч находятся из того условия,

что

содержание их члены представляют собой решение уравнения

(2.6 ), и потому после подстановки их в (2.6) это уравнение превращается в тождество:

(-С3 рг~2прСѵ % )bnpt + (-C4pz+2ni>C3+(JC,)cipt=0'

Полученное равенство удовлетворяется при любом

значении ~é

только в том случае, когда каждое из выражений

в скобках

равно нулю. Это приводит к двум уравнениям:

 

 

С ф г - р г ) - 2 п р С ч =

 

,

Сч(о)г- р г) + 2 п р С 3 = 0

,

из которых находим:

Q

^zj

*

3т[(б)г- р 2Г + 4 р Ѵ ]

сч = -

 

т [ ( о г_ р 2Д

4 р гп^|

Следовательно,

решение (2.7) теперь монет быть записано в

СС = С

1 Г’ , п Л .

^ - р ^ + ^ р Ѵ

(C<C M w ft + C 2 Sinü<ty+- m

Используя далее начальные условия задачи, при необходимости можно найти и остальные произвольные постоянные С< и С3 . Заметим, что собственные колебания даже при самом малом со­ противлении довольно скоро затухают и потоңу первые два чле-

- 51 -

на в решении (2.7) можно опустить (считая время протекания процесса значительным). Поэтому обычно интересуются лишь вы­ нужденными колебаниями, представленными последними двумя

членами в решении

(2.7).

 

 

Преобразуя произвольные постоянные

Cj и Сч по формулам

^з =

,

Cf я -ASin^- ,

получим для новых

постоянных

А и

выражения:

Здесь ■— - статическое перемещение (т.е.перемеще­ ние, которое имела бы система, если б на неё действовала

постоянная по величине сила, равная амплитудному значению, возмущающей силы).

Соответственно решение (2.7) теперь принимает вид:

а = Â K n f c t - r ) -

(2.9)

Таким образом, установившиеся колебания являются гармоничес­ кими . Их амплитуда Л и фазовый угол у~ зависят от соотно­

шения между частота™ р и

0) , а также от коэффициента

затухания

П .

 

Чтобы охарактеризовать динамическое действие возмущающей

силы, сравним её амплитуду

Л со статическим значением пе­

ремещения

Х ет .

 

Отношение динамического отклонения системы к её статическому отклонению называют коэффициентом динамичности X :

- 52 -

Как видно из выражения (2.10), коэффициент динамичности не обращается з бесконечность ни при каких значениях часто­ ты возмущения.

При

% о

* О

А = 1

j

 

при

 

 

—

Оо

 

Я

-*■О .

 

Исследуем, когда и какие максимальные

значения принимает

коэффициент

А

, для чего преобразуем подкоренное выраже­

ние знаменателя в равенстве (2.10),

представив

его в

виде:

 

 

2 Z)Z+ 1]&2і2 , где

2 = /ц)

 

- коэффициент рас­

стройки,

а

і=

п/ Ъ -

безразмерный коэффициент

затухании.

Так как-

Jjf Z

) = - k 2 (1 - 2 2) + % -ігі

 

 

 

 

 

/ "( Z ) = - 4 + 12 ? г + &І г ,

 

 

 

 

то

 

I )

= 0

при2,=0 и г^?/|/І-2б*{Если

(

1 - 2 € г

) > О ,

т.е.

если ё=

^4? ,то корни

2г и

 

 

действительны.

Подставляя их в

j "(і) , получаем,

что

{ "(7)>0 ,т.е. функ­

ция

/( £ ) при этом значеши

2

достигает минимума, а

коэффициент динамичности

Я

- максимума,

причем

 

 

 

 

 

-j

 

_ ___1__

 

 

GT_

 

 

 

 

 

 

 

А м а «

" 2е^,-ёг

 

 

2. П

‘

(2.II)

Заметим, что этого-значения коэффициент динамичности дости­

гает не при

= I,

а

при несколько меньшем значеніи, сос­

тавляющем | | _ 2

ЙІ

-

 

 

Поэтому здесь различают три разные частоты, которые при

ТІ =0 совпадают:

I)

(ß= \f^ - частота незатухающих собствен­

ных колебаний системы,

2) L\ = /о)-

- частота затухающих

собственных колебаний.

3) частота,

соответствующая максиму­

му амплитуды вынужденных колебаний яри резонансе - так на»

- 53 -

зываемая резонансная частота.

Зависимость коэффициента \ от отношения частот

приведена на рис.2.7. График амплитуд содержит семейст­

во кривых, каждая из которых соответствует одному определен­

ному значению коэффициента затухания б . Все эти кривые

лежат ниже одной кривой, соответствующей отсутствию затуха­ ния. Анализ их показывает, что амплитуда вынужденных колеба­ ний уменьшается вследствие затухания, причем в области.дос-

таточно удаленной от %) = { , значения коэффициента зату­

хания весьма мало влияют на изменение коэффициента динамич­

ности.

Поэтому при

, значительно отличающихся от еди­

ницы,

обычно не учитывают влияние малого сопротивления на

амплитуду вынужденных

колебаний.

И гораздо более заметное влияние на амплитуду вынужденных колебании затухание оказывает в области резонанса.

Рис.2.7. Зависимость коэффициента динамичности Д.

от отношения частот P/cJ при.различных коэффициентах затухания ь •

- 54 -

Для сравнения отметим, что влияние внутреннего неупру­

гого сопротивления на вынужденные колебания точки в конеч­ ном счете аналогично влиянию вязкого трения, которое рас­ смотрено выше.

Значение резонансного пика в этсм случае составляет величи­ ну, обратно пропорциональную коэффициенту неупругого сопро­

тивления р £12]

. В частности,

коэффициент динамичности

при резонансе

(2.12).

Это соотношение показы­

вает, что в противоположность вязкому трению при неупругом сопротивлении резонансные амплитуды не зашсят от собствен­

ной частоты колебаний системы.

Формулы (2.II) и (2.12) часто используются для эксперимен­

тального определения коэффициентов демпфирования П и р .

О этой целью замеряют в резонансном режиме ускорение систе­ мы и ускорение на рабочем столе вибростенда. Их отношение

дает коэффициент динамичности Я м4кС , зная который, легко

вычисляют коэффициенты П

или у . Электрической аналогией

рассмотренной механической системы является колебательный

контур с источником Э. Э.с.

, изменяющейся по гармоническо­

му закону.В этом случае дифференциальное уравнение для коли­

чества электричества имеет вид

L q + Ry + % = [„• Sіпрі у

а соответствующее значение амплитуды установившихся колеба-

Q =

£ .

ИЛИ

Ф р = ш

Так как Л =

,.а <^/= Qsinp{, то Js Qj>c&p{.Следова­

тельно, левая часть последнего равенства представляет собой

- 55 -

наибольшее значение силы тока. Квадратный корень в знаменателе правой части известен под названием импеданса. Он играет боль­ шую роль в электротехнике.

Отметим также, что в технике резонанс известен как отрица­ тельное явление. И только в радиотехнике резонансный режим ко­ лебаний играет полонительную роль. Здесь это почти единствен­ ный способ отделить одни внешние воздействия от других, меша­ ющих работе станции. Чтобы наилучшим образом использовать яв­ ление резонанса, колебательные системы в данном случае берут с небольшим затуханием.

2.Кинематическое возмущение

Рассмотрим очень распространенный случай движения системы на

примере вынужденных колебаний

прибора весом

Р

»подвешенного

на упругом элементе жесткостью

С , при колебании точки под­

веса по вертикали согласно закону

 

 

 

 

 

 

х е

= S 0 -sen p i .

 

 

Будем учитывать

следующие силы:

 

 

I) вес 0

прибора,

2) восстанавливающую силу

Р=с£Г,где

S' - полная деформация упругого элемента, причем в соответ­

ствии с рис. 2.8

S' -

„

_

’

с-

 

 

 

8 - f o - іо + ^ет +Ха ~ Хе-£о=

+°ст~Хе.

Отметим,

что в этом равенстве координата

отсчитывает­

ся от уровня,

соответствующего

статическому положению разнове­

оия друза,

са

 

Р

 

 

смещение груза

bej*

jr , а разность СГа - Х е- Х _

относительно основания. 3) Силу сопротивления, пропорциональ­

ную первой степени

скорости относительного движения груза R=K£.

Составляя основной

закон динамики для груза,находим:

т а * Р + F + £

.

- 56 -

ренцяального ураьиеШІЯ ДВКЖСКЛЯ ТОЧИЛ при кинематическом возмущекгл основания.

Спроектировав его на ось

X ,приходим к дифференци­ альному уравнению абсо­ лютного движения груза

тіа-Р-с&т-еТа-кі+сэс,..

Сокращая в нем члены Р и Сбит и решая уравнение

относительно Х а ,находим для кооГсітцпента диііхпіч- ностл А j выражение (2.14).

Пеуекодя далее г. относи­ тельна:';/ діг.ѵенігэ груза,

получим:

5с + 2 П І + ^ гЭС = р ZS0-Sin p-t .

Так как гды интересуемся только вынукденшгыи колебанюс/л, то будем искать частное решение данного уравнения.

Это решение легко патучается, еатк заѵ.стить, что данное

уравнение отличается от уравнения (2.6) только коз-л:нциек-

Г) у

том при синусе в правок части. Поэтсг.гу вместо Ча/П1 з выра­ жение для амплитуды колебаний решения уравнения (2.G ) под­ ставим теперь pZS0 . В результате получим

і =

p\s

І,,i

 

uJ‘■J

•П-

6JV

Учитывая к тому же, что статическое перемещение в данном

случае равно S0 ,а не

, душ данд.гической поправки ,u.

получаем выражение

 

 

- 57 -

 

 

 

 

 

(2.13)

Величину

называют коэффициентом

относительного переме­

щения. График изменения его представлен на рис. 2.9.

 

 

 

 

 

Он показывает,что

 

 

 

 

 

при большой часто­

 

 

 

 

 

те возмущения по

 

 

 

 

 

сравнению с часто­

 

 

 

 

 

той собственных

 

 

 

 

 

колебаний системы

 

 

 

 

 

относительное дви­

 

 

 

 

 

жение объекта поч­

 

 

 

 

 

ти одинаково с дви­

 

 

 

 

 

жением основания,

0

0,5

1,0

1,5

2,0 %

т.е. движение сбъ-

екта почти в точ­

Рис.2.9.

Зависимость коэф­

ности повторяет

 

фициента относительного

движение основания,

 

перемещения

^

от отно­

На этом принципе

 

шения частот

P/QJ .

основано использо­

вание приборов инерционного действия (сейсмографов)и приборов для измерения вибрации (вибрографов).

Основной частью сейсмографов является массивное тело, подвешенное на мягкой пружине. Следовательно, такая система имеет небольшую частоту собственных колебаний.

Помещенный на вибрирующее основание^ этот прибор может запи­ сывать колебания самого основания. При этом необходимо вы-

Смотрите также файлы