Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 63

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рос, f^Q

Co i .

Нужно так выбрать закон изменения температуры

по длине

трубы

Т(£),

чтобы

концентрация целевого

продукта

 

I = Cj (

/ j )

была

максимальна.

Здесь С - вектор концентраций

с

составляющими

С; ,

U

- длина

трубы.

 

 

 

 

 

Множество

Д определяется связью

(1.6) и

ограничениями

 

Заметим,

что,

как и в

предыдущих задачах,

целевая

функция

при

каждом <^Т (

£

) , С ( С

) > 6- Д выражается

числом.

Однако,

е с ­

ли в предыдущей задаче она зависела от набора числовых управлений

(расходов

сырья),

то

в данной

задаче

она, в свою

очередь, зависит

от функций

Т ( €

)

и С (

€

) , Такую зависимость

между множеством

функций и

множеством

точек

числовой

оси называют

функционалом.

В рассмотренных примерах на основе словесной постановки прово­ дилась формализация задачи, т . е . определялась целевая функция и множество допустимых решений Т? , причем все параметры, опреде­ ляющие как функцию цели, так и множество допустимых решений, предполагались фиксированными и определенными заранее.

Легко себе представить задачи, в которых эти параметры могут принимать некоторый ряд значений.

В этом случае возможны различные постановки.

Например, максимум I при средних значениях параметров; максимум среднего значения I при некотором вероятностном распределении параметров, наконец, максимум I при наихудшем возможном значении параметров (задача на максмин).

12

§2. Множества, оболочки, максимум и верхняя грань

2.1.Понятие о множествах..

Множеству нельзя дать определение. Это одно из тех понятии, черев которые определяются другие математические ооъекты. Поэтому

ограничимся пояонениеи.

Чтобы ОТЛИЧИТЬ одни предметы от других, выделяют их с помощью

одного признака или совокупности признаков, присущих

только

этим

предметам. Объекты, объединенные общий признаком,

образуют

мно-

яеотва.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например: множество

точек

плоокооти

, для которых

 

 

 

д(г-+ У* + I ,

 

 

 

 

 

 

(2.1)

образуют круг единичного радиуса о центром в начале координат

(рис.2.1). Если в (2.1)

 

стоит только

энак

равенотва,

то

множест­

во, выделяемое этим равенством - окружность, а если

-

только э<нак

неравенства

-внутренность

круга.

 

 

 

 

 

 

 

Множество

может быть

определено

заданием

некоторой

процеду­

ры, позволяющей решить вопрос о принадлежности

объекта. Мы будем

называть такое задание множества алгоритмическим.

 

 

 

 

Множества обычно обозначают большими буквами, а их

элементы -

чалыми. Обозначим множество на плоскости,

отвечающее

о р г а -

 

нвченжю /2 . 1/, через А.Тогда на рис. 2.1

точка "а"

принадлежит

А. Этот факт внражает

запись

 

 

 

 

 

 

 

 

CL'

€

J

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка же "в" не принадлежит

А-.

 

 

 

 

 

 

 

 

А .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть имеется набор условий, каждое из которых выделяет, свое

множество А^

объектов (чисел, функций,

предметов

и т . д . ) .

Тогда объекты, удовлетворяющие всем признакам набора, тоже

 

образуют множество Ап

,

но,

естественно,

не большее~,чем

каждое

13

из

А- . Говорятт что Ал

пересечение мноаеотв • А.. Эт-от

термин

очень точно определяет

смысл

множества

Ап / р и о . 2 , 2 / ;

На

рис . 2 . 2

Ап

заштриховано.

 

 

 

 

 

 

Моино выделить и объекты,

обладающие

хотя бы одним

ив

рас ­

сматриваемого набора признаков. Множество таких объектов Ао назы­

вается

объединением

множеств

М ,

оно содержит^по крайней мере, не

меньше

объектов, чем

каждое

из A j

(рио . 2 . 3) . В условных обозна­

чениях

 

 

 

 

 

А„ = Aj П Д . • • •

 

AQ

= kjUA-

•

 

 

Очень важно

понятие

пустого

множества,как

множества, не

содержащего

ни

одного элемента.

На первый взгляд во введении это ­

го понятия нет особенного смысла. Однако многие операции о множе­

ствами (получение их пересечения, например) были бы невозможны без использования пустого множества. На уроке математики в одной

из школ

очень хорошо иллюстрировали малышам понятие пустого мно-

аества.

Учитель говорил, что

множество

учеников класса

есть

объ­

единение

множества мальчиков

и девочек,

обучающихся в

атом

клас ­

се, а потом просил

встать

всех

мальчиков о

кооичками. Так

как де­

по было в младших

классах,

куда

не проникла

мода на длинные муж­

ские прически, пересечение множества мальчиков и множества

уче ­

ников о косичками оказывалось пуотым.

 

 

Если каждый элемент множества В являетоя

одновременно адамен-*

том At то говорят,

что множество В является

подмножеством

А.

Так, множество

В, для которого

 

 

хК у** 1,

является подмножеством А, отвечающего условии (2 . 1) .

2.2.

Выпуклым называют

такое множество

Д

, в котором для любы),

двух элементов,

принадлежащих

Д ,

У,

и

Уц

 

элемент

 

 

 

J

-

 

J$X,+

 

(/-Я!

 

*Я

 

'

(2.2)

принадлежит

этому

множеству

 

при

 

0

В <£•

I . Геометрически это

условие означает,

что

любая

точка

отрезка, соединяющего У,

и

Я$, л~

принадлежит

множеству

Д.

На рис . 2 . 4,а изображены выпуклые,

а

на

рис . 2 . 4,б -

невыпуклые

множества.

 

 

 

 

 

 

 

К выпуклым

множествам относятся,

например,

полупространство,

гиперплоскость,

отреэок

прямой линии

и т . д .

 

 

 

 

Из (2.2)

непосредственно

следует,

что

пересечение выпуклых

мно­

жеств всегда выпукло, чего нельй$,,конечно, сказать о их объединении,

Уеловия типа равенства, наложенные на переменные, выделяют неко­

торое множество их допустимых

значений. Это множество

для

условия

 

/ < X, Л ,

• • • ) = " с

 

 

 

выпукло

лишь тогда, когда функция ^

линейна

по всем

(дока­

жите это

сами).

 

 

 

 

 

Дели

выпуклое множество Д содержится в одном

ив полупространств,

на которые делит пространство X неноторая гиперплоскость П, причем -

граница

Д имеет хотя бы одну

общую точку с П, то эта

гиперплоскость

называется опорной к выпуклому множеству. В частности, опорная ги­ перплоскость может иметь единственную общую точку с аамыканием Д,

СПдва

р и с . 2 Л , а ) .

 

 

 

 

Крайней точкой,

множества

называют точку А, если в Д не существу­

ет

двух

таких несовпадающих

точек Xj и Х2, что А может быть выраже­

но

формулой (2.2)

при

0

< I .

Для выпуклых множеств справедлива теорема отделимости Хана-Банаха.

Теорема 2 . i . Два непересекающихся выпуклых

множества,

хотя

бы одно

из которых содержит внутреннюю точку, разделимы.

То

есть

ыонно про­

вести такую разделяющую гиперплоскость, ч?о

эти

множества

окажутся

в разных полупространствах (рис . 2 . 5) .

 

 

 

 

Смотрите также файлы