Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

вия задечи. Так, е с л и ^ ( О )

и Ц

СТ ) фиксированы,

то

доста­

точно взпть^Ц - ), проходящим через

эти точки, а Ъ\(р)-\

(Т)=0.

Мы не останавливались на

деталях алгоритмов, выборе

их

рабо­

димости.

Не рассматривали и условия

типа

(24.2) в форме нера­

венств.

Некоторые из этих вопросов нетрудно учесть в

процессе

решения

конкретных

задач, другие

подробно

и тщательно

разобраны

в соответствующей

литературе С

А

1, С

t

ционалов^

дать возможность читателю с использованием

таблиц

1 5 . I , 15.2

самостоятельно записать численную процедуру

решения.

со связями в форме нелинейного интегрального

уравнения.

2. Для функционала

7~ - та/

rni.Lrb J0

fX

и связей в форме дифференциальных уравнений

записать алгоритм

поиска решения

п. 21.3.

3. Для той se

задачи составить

функционал

/ V , записанный .

в п.21.4.

ствования, единственности и устойчивости решения,

'

Не Оудем останавливаться на вопросе о существовании

решения,

каждого из этих

вопрооов.

Экстремальные

задачи можно разбить на две большие

категории.

I.Задачи, целью решения которых является величина

иаксишгзнру-

емого функционала Л

. Если в

окрестности оптимального решения

эта

величина мало чувствительна

к его изменениям, тем лучше.Зна-'

Ч Е Т

при

практической

реализации

найденного режима

неизбежные по»

рошности

не приведут

к большим потерям. Решение же

ней

не

очень важно. В подооных задачах устойчивость решения

часто

не

играет большой роли, так как палые изменения условий

задачи

аооть

решения Uj к

V,

определяется

разностью между максиму­

мом I

и I ( UA

).

А эта'метрика'как

правило,оказывается

слабой.

П. Задачи, в которых функционал есть

лишь индикатор

правиль­

ности

найденного

решения.

Условия такой

задачи можно--тракто­

жениям исходных данных, так и к вычислительным

погрешностям.

Близость

двух

решений

оценивается здесь равномерной "метрикой"

Уоловия,

гарантирующие корректность

задачи,

обычно

проверить

д о ­

вольно трудно

£

8

3*

Часто для

ответа на

вопрос

о

коррект­

ности постановки

задачи,

имея в виду

вычислительный

аспект,

дос­

таточно

воспользоваться

такими соображениями.

Пусть Kj U;) - решение, удовлетворяющее связям и доставляю­

щее функционалу I некоторое значение I ( Ut

).

Если

можно

найти

семейство решений 1L^(+), которые в равномерной "метрике" отли­

чаются от ^/((-fc) на конечную величину, причем уравнение связи

нарушается на

бесконечно

малую величину, и

разность I

( U.^

) -

I (

\ХА

) по модулю также сколь угодно мала,

то

задача

постав­

лена

некорректно.

217

Приведем

в качестве примера

задачу определения характеристики

объекта по данным эксперимента.

Известен

экспериментально получен­

ный

очгнал

на выходе линейного

объекта

и сигнал, поданный

на

его вход

J^C-i). Требуется подобрать .чмпульсную характеристику

К

( - t , T )

так, чтобы функционал

о

любого

решении из

(-i). Так, задача

определения К ( " t j t )

по

данным

эксперимента

не корректна, ибо любая из функций

=

1С, G r . t j + c U ^ & A . u ^

,22.4)

при достаточно большом

СО

и конечном d

доставляет функционалу

I Г и правой

части

уравнения

(22.2)

с точностью до <£ то же самое

значение,

что и

Kj

(

) .

Это связано

со сглаживающим

характе­

ром оператора свертки в (22.2) и интегрирования в (22.1)

и (22.3).

То же может наблюдаться

и в задаче

с конечномерным решением,

когда

изменение

одного

из

искомых переменных

можеа1 быть сколь

угодно

гулярную

и

сингулярную

части. Через

Х(4

~) обозначены

те

состав­

ляющие решения, которые входят как в

,

так

и г

/ г .

Состав­

ляющие

ве "U (t)

входят

только в регулярную-часть

подинтегрального

выражения функционала связи. По терминологии, принятой в § \Л ,

задача

регулярна

по

1А_

и сингулярна по

У

. Регулярность

вада-

чи по

U ( 4)

позволяет

испольаовать

для

линеаризации функционалов

I

и £fC£"

)

по

1L

скользящий

режим и расширить

множество

допусти

мах функций сравнения. Однако она же приводит к

некорректности за­

дачи

по

lL(h.

Действительно,

изменения

К (4)

конечные

по мо­

дулю,

но достаточно

высокочастотные

(аналогично

(22,ч))

сколь

угодно

мало

повлияют

на

величину

I

и

Cf(

Т" ) . Таким образом, ес­

ли задача

относится

ко

второму

из упомянутых выше

типов задач,

2 0

при постановке -(22.5),

(22 - 6)

нельзя

гарантировать

получение

устойчивого

решения

1-L*(

\_ ) . Между

тем

по

X

(4)

задача может

•быть корректна.