Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
203
|
§ 20. Скользящие режимы в задачах оптимизации . |
|
|
||||||
20.1.В параграфах тринадцатом и четырнадцатом |
использовалось расшире |
||||||||
ние |
вариационных |
задач. Там было доказано, |
что для любого из базо |
||||||
вых |
значений ^ ф у н к ц и я |
/14.9/ |
достигает |
своей точной |
верхней гра |
||||
ни. Если при пбсти всех |
4 |
значение |
<^е единственно, |
то |
соответству |
||||
гощее управление |
является решением исходной задачи в классе кусоч |
||||||||
но-непрерывных |
функций. Но верхняя |
грань |
функции Н по |
U может |
|||||
на множестве значений i |
ненулевой |
меры достигаться |
не при одном, |
||||||
а при нескольких |
значениях |
W |
. В этом случае будем говорить, •:. |
||||||
что условия оптимальности расширенной задачи, сформулированные в §14, являются условиями оптимальности для исходной задачи в классе скользящих режимов.
Чтобы для конкретной задачи получить условия оптимальности в
классе скользящих режимов, нужно, пользуясь |
табл]. |
15.1 и |
15.2, |
|
записать функцию Q ; выделить |
составляющие |
первой группы Ц , вхо |
||
дящие в регулярную часть как |
/ 0 , т а к и всех |
имеющихся в |
задаче |
свя |
зей; подсчитать число связей, |
в #оторые входят Ц . Пусть это |
чис |
||
ло равно Li . |
Тогда для определения оптимального скользящего |
ре |
жима требуется |
при каждом ~к найти //ц+I /-но значение ^(i), |
весо |
вых коэффициентов, соответствующих оптимальным базовым значениям L/g(-4) "расщепленного" управления.
Имеем следующие расчетные соотношения:
Z ' o S W ; |
|
/ 2 0 - 2 / |
|
Здесь |
через &± |
обозначена совокупность тех слагаемых в |
, ко |
торые |
не зависят |
от U. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
7>Х |
|
|
(20.6.) |
||
На tfK |
и |
|
$к |
наложены |
обычные |
ограничения |
(20.2..). Здесь |
|||||
tYJ |
— число уравЁений |
(120.4'), |
которые |
для |
скользящего |
режим?, |
||||||
примут |
форму |
ГУ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения становятся обычными уравнениями принципа макси |
||||||||||||
мума Понтрягина (см. п. 15.4), если для |
любого |
интервала |
("^.,"4) |
|||||||||
£ |
[Ъ)Т] |
|
функция |
Н достигает своей |
верхней грани при един |
|||||||
ственном |
значении U f ю |
есть вое функции |
^(-Цкроме |
одной, |
||||||||
тождественно |
равны кулю. '1'ак как величина |
максимума функции Н, - |
||||||||||
а |
значит |
и |
/? |
для каждого из управлений Ык. одинакова, эти |
||||||||
управления |
"равноправны" |
по своему вкладу |
в величину функционала;- |
|||||||||
I . |
Это дозволяет из |
множества |
траекторий, |
удовлетворяющих/20,7/( |
||||||||
1
Ж
выбирать |
наилучшую, |
она может |
не |
соответствовать |
ни |
одному из |
уп |
||||||||||
равлений |
|
в |
отдельности, |
но в каждый момент времени ее наклон |
|||||||||||||
лежит |
внутри |
пространственного |
угла, |
образованного |
направлениями |
||||||||||||
J |
{Я (UiCj't |
) • |
Рассмотрим |
один лроотой чаотный олучай. Пусть |
|||||||||||||
заданы начальные |
и конечные условия |
для У ." У(0)-Ус^ Х(Т)*Ут |
, |
||||||||||||||
а n J-*, |
и |
правые чаоти |
уравнений овязи |
зависят |
только |
от управ- |
|||||||||||
лений. Тогда |
из |
(20,6 ) следует, |
что |
г 1 |
» |
0, |
а |
следовательно, |
|
||||||||
Пусть |
для |
некоторого |
С функция |
Н достигает |
максимума веточках |
||||||||||||
|
|
|
множества |
|
Каждому |
из |
значений |
управления |
|
||||||||
ооответотвует направление |
|
|
|
в |
пространстве |
У |
. Построим |
||||||||||
угод |
Q вершиной |
в точке |
У0 |
, |
образованный |
такими |
направлениями. |
||||||||||
Еоли |
точка |
У |
окажется |
внутри |
этого |
угла, |
то |
оиотема |
|
|
|||||||
£=•1
ноаволяет с помощью найденных управлений подучить траекторию,удов летворяющую условию на правом конце. Значение же С,в свою очередь,
определяется |
из условия, чтобы упрагч'ния |
(С) не только удов |
|||||
летворяли |
условию |
J((T)" |
, w o |
и |
Доставляли максимум.', |
||
выражению |
J^' |
1 (U *(С))« |
Заметим, |
что эта |
задача легко может |
||
быть преобразована к статичеакой задаче оптимизации в среднем |
|||||||
(см. п. 8.4 |
) . |
|
|
|
|
|
|
22.3. |
Связи в |
форме интегральных |
уравнений |
|
|||
|
= '^(ХШ^ШМ)^ |
|
|
(20..-.8) |
|||
|
|
и |
|
|
|
|
|
Функция Q. (см.п. 15.5) имеет вид
206
При лоиоке оптимального решения в клаосе скользящих режимов уравнения (20. 8) и функция Р запищутоя в форме
о kso |
' |
( 2 0 , 9 ) |
fc=0 |
о |
|
Условия оптимальности |
(20. < ) и {20.5) |
примут вид |
В частности, для линейного интегрального уравнения типа свертки
|
|
|
|
° |
|
120. И) |
|
|
- |
i ' |
я |
w |
¥ f - c ^ |
|
|
|
|
i t o |
' |
|
|
(20.12) |
|
Если не только |
, |
но и 14. |
скалярные функции, то |
число неизвест |
|||
ных в последней |
задаче |
равно |
шести (.X, , / / / ^ У, , Mo, |
)• |
|||
Подсчитаем общее |
число |
условий |
для их определения. Уравнения |
||||
(2О./0), (2.0.1?) и (.20.42) Дают |
три услогия. Оставшиеся три |
||||||
доставляет неравенство |
( 2 Q . l l ) . |
Действительно, из |
него |
следует |
|||
Ufa)- Hfrt),
/-/(U,) |
= S<y, |
/ / С* Ч t |
J J , |
207-
<l<£Vu.
Последние два |
при управлении, |
лежащей внутри \ / ^ , превращаются |
|
в равенство |
ЪН$ |
(% |
0,1). |
Аналогично с использованием табл. 15.1 могут быть составлены'
уравнения для |
определения |
управлений Цл({) |
при наличии з |
задаче озяэей |
различного |
типа. |
|
Упражнения. -
I.Записать условия оптимальности в классе скользящих режимов для функционала
то.* /"Пик*
со связями в форме дифференцяальннх уравнена?.
2. Как изменятся условия оптимальности в классе скользящих режимов, полученные в этом параграфе, при наложении на вектор управлений Ы условий
3. Найти управление bCf^J, переводящее линейный стационарный объект с импульсной характеристикой из состояния ЬС(0)=У(о в состянЕе^ХУт^- J(r, за время Т и мннииквирухщ-эе функционал
о i -
о
§" 21. Чиояенные методы решения непрерывных зада» оптимизации.
В § 7 мы рассмотрели некоторые из многочисленных методов решения задач о условном максимуме функции. Каждому из них может быть по ставлен в соответствие аналогичный подход при определении максиму ма функционала.. Подчеркнем эту аналогию на примере методов, упомя
нутых |
в § 7. Численные |
алгоритмы удобно |
излагать для |
задачи с ка |
|
нонической формой связи. |
Это позволяет, |
воспользовавшись таблицей |
|||
1 5 . I , |
применить |
тот или |
иной алгоритм для произвольного набора |
||
связей, записав |
каждую их них в канонической форме. |
|
|||
|
Аналог метода |
проектирования |
градиента |
|
|
Пуоть требуется найти |
функцию у(4), |
доставляющую |
максимум |
||
функционалу |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
iff*) |
- |
//tew*, |
т;<#_ |
|
|
( |
a l a |
Для простоты считаем, что множеотво допустимых |
значений у |
совпа |
||||||
дает оо всем пространством У |
. Функции Jt |
и |
J- |
дифференцируемы |
||||
по |
совокупности |
своих аргументов. Чтобы найти |
направление |
условно |
||||
го |
градиента |
функционала . X |
в окрестности |
начального приближения |
||||
£/o&JВДжно, как это было показано в п. 7 |
. 1 , |
решить вспомогатель |
||
ную, экстремальную задачу определения |
функции |
£{{) такой, |
что: |
|
I . достигает максимума скалярное |
произведение |
градиента |
I на |
|