Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 66

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ds2 = c2 dt2 г — а

1 + -2-)* ((dx1)2 +

(dt2)2 +

(dt3)2) =

r + a

 

 

 

 

Д І (л-Чх1 + x2dx2 +

x3dx3)2,

(5.6)

видим, что в линейном приближении, т. е. с точностью до члена, пропорционального о2, обе метрики совпадают. Вопреки этому, во втором приближении получим неко­ торое отличие от ОТО (см. ниже). Далее, из динамиче­ ских уравнений как для точечных масс, так и для фотонов следует геодезический закон движения в пространстве с метрикой (5.5). Отсюда получаем в качестве перво­ го гравитационного эффекта ньютоновское уравнение дви­ жения в поле тяготения массы гпа (кеплеровское движение), а также красное смещение в поле тяжести, равное

АNV

а

}

Г

и, наконец, эйнштейновское значение для отклонения света

ѵ

=

<5' 7>

где V — эффективная

скорость

света в гравитационном

поле точечной массы гпа .

Для исследования смещения перигелия потребуется линейный элемент трехмерного пространства только в

линейном

приближении, а

компонента £00, наоборот,

в нелинейном приближении:

 

ds2 = с2 (і

-y-J dt2

((dxJ)2 -I- (dx2)2 + (dx3)2).

 

 

(5.8)

Геодезический закон движения в метрике (5.8) дает

для

движения перигелия ([1],

[4]) следующее выражение:

Ä <р = ^1 + 7 а(Ці4+Цг)

) , т. е. Д ср = ± Л <р Эй;іштей„.

 

 

 

(5.9)

Это выражение допускает некоторую корректировку. Об­ щая внешняя статическая сферически-симметричная мет­ рика сосредоточенного источника содержит не одну кон­ станту Шварцшильда, а две константы:

120


е.... = — s.

= 0 (ц, v = 1, 2, 3). (5.10)

Метрика (5.10) создается некоторым неточечным сфериче­ ским распределением масс (см. §16). Условие а Ф Ь не из­ меняет ньютоновского приближения как в выражении для смещения перигелия, так и в выражении для откло­ нения света.

В то время как в вакуумном решении отношение кон­ станты Шварцшильда а к константе b остается неопреде­ ленным, то при заданной внутренней структуре источника поля оно может быть определено с помощью условий сши­ вки внешнего и внутреннего решений. Для физических условий, реализуемых в нормальных звездах (например, в Солнце), имеет место а т Ь (см. §16). Существенные отк­ лонения от эйнштейновской и ньютоновской теорий начи­ наются в том случае, если вблизи материи гравитационное поле является сильным.

§ 16. СТАТИЧЕСКОЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИИ

Статический тензор материи идеальной жидкости име­ ет вид

(5.11)

Линейный элемент пространства— времени возьмем в виде

ds2 = <р(г)* dl2 — giryidx^ + dxl + dxl) - (5.12)

и примем для тетрад и метрики aik плоского простран­ ства, в котором сформулированы гравитационные уравне­ ния, выражения

(5.13)

Уравнения для тетрадного поля (4.45)

n h ? + * h ? f t l =* 0

(5.14)

121

приводятся тогда к двум уравнениям:

 

AtP = 4 " * ф (р +

(5.15а)

 

дg = ----~Х £ (Р Р)-

(5-156)

В случае статического сферпчески-симметричного решения

в вакууме

= 0,

р= 0)

получаем отсюда

 

 

<Р=

1 ---- g = l + —

г

(5.16)

 

 

г

 

 

и коэффициенты в метрике (5.10)

 

 

ёоо =

----j- 'l >

— Vv

+ “ ) ’

 

 

ëfvo -= 0 (H-, V= i,2,3).

 

(5.17)

Эта метрика резко отличается от статического сферическисимметричного решения (5.6) общей теории относительно­ сти. В то время как в решении Шварцшильда (5.6) характе­ ристическая поверхность г= 2т (поверхность Шварц­ шильда) полупроницаема, поверхность в решении (5.17), соответствующая поверхности Шварцшильда, полностью непроницаема для частиц. К этому вопросу мы еще раз вер­ немся в конце параграфа.

Другое отличие, как уже было указано, состоит в том, что решение (5.17) зависит не от одной константы/«Шварц­ шильда, а от двух констант. Поведение обеих этих кон­ стант устанавливается при заданной структуре островно­ го распределения материи при помощи условий сшивки. В общей теории относительности для гравитационных по­ лей, зависящих от времени и принадлежащих одному и тому же распределению материи, имеет место асимпто­

тика

-

 

2т.

 

 

 

 

 

 

о 00 —

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

с теоремами• :

 

 

0Эйнштейна(и-»ѵ= 1.2,3)и Паули.

 

Толмана=и

выражением

 

..

 

ё 0ѵ.

 

 

 

 

 

Масса

Шварцшильда

задается при

этом

в

соответствии

т .=

JѴ~

§ Т ?

dl = Л J V ~ g

(ТІ -

Tl) d3x. (5.18)

122


В эйнштейновских координатах У — g = 1 она рав­

на

т =

J (То — Ti) dH.

(5.19)

В нашем случае идеальной жидкости из тензора мате­ рии следует

Р, ТІ = — р5]1 (р., V= 1,2, 3),

(5.20)

откуда для массы m находим

>п — (-^-j (р + Зр) d3x.

(5.21)

В тетрадной теории внешняя статическая метрика (5.16) содержит две константы а и Ь, что вытекает из по­ тенциалоподобного вида уравнений поля. Чтобы лучше оттенить возникающие при этом новые эффекты, перепи­ шем уравнения (5.14) и (5.15) в виде

а / г ? + х Л 4 ? = 0

(5.22)

и

Д£ = — хМ\ ,

 

Дср = у.Мо,

(5.23)

причем конкретная форма МА определена только с точ­

ностью до требования

М? = ki ТТ (где kf — четыре

произвольных векторных

поля).

Из (5.23) при условии сферической симметрии стати­ ческого внешнего поля получили на основании гауссовых

интегральных теорем

 

 

kl +

 

 

 

а =

J Ml dH = ( А )

J

3р) dH,

(5.24a)

 

b =

j M\ dH =

j

k\ (p — p) dH.

(5.246)

Вообще говоря, эти интегралы отличаются друг

от друга:

в частности,

давление

р приводит к увеличению констан­

ты а

и к уменьшению Ь. Если положить, например, kf =

= bf

(вместе

с ht вводим, таким

образом, еще 4 вектор­

ных

поля, которые

предполагаются

постоянными), то

а > 6

* [2].

 

 

 

 

 

 

Речь идет о частном выборе связи, рассмотренном на стр. 104.

123


В нашем случае потенциалоподобной связи

 

 

 

M f= h tT lk,

а =

j

cp(p +

3 p )d 3x,

 

 

 

 

 

 

b =

 

£(pJ P)d3x

 

(5.25)

возникает

второй эффект.

Из

уравнений

(5.15а)

и (5.156)

и условий cp -V 1

и g->-l

при г-ѵоо

следует, что со с 1

и

£ > 1 .

При

р — 0

из

(5.25)

и

(5.19)

получаем

a< cm <b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

сравнить

оба эти

эффекта,

рассмотрим несжи­

маемую

жидкость

с р = const [3]. Для

тензора

материи

(5.11) в метрике

(5.12)

получим

динамическое уравнение

 

 

 

 

 

? - ^

+

(р +

р ) - ^ = 0.

 

(5.26)

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

аг

 

 

 

 

Уравнения (5.15) и (5.26)

можно

решить итерациями.

Для

этого

cp, g

и р разложим в ряд по степеням хр/2;

после

подстановки их в в (5.15)

и (5.26)

получим

 

 

Г

R 2 — r 2

 

ср_ +

3R* 5R°-r°- +

2г2 (ъру

 

 

=

 

 

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р(— Г “

‘I

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 2L +

 

 

(1*)'+ О

((Я .)’ )

(5.27)

со =

1 -

3* a - r2

 

60

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь R — радиус сферического распределения материи. Пренебрегая членами высшего порядка малости, из (5.25) и (5.27) получим

а = m Ii,l

--------------3

т

--------З т - л- .

 

1

5

Я

Я2 '

(5.28)

ои = m'I 1 НI- -тЯ --I

-3527 -•-тR-2- -,Ь

 

Чтобы устранить отсюда эффекты, связанные с давлением, используем (5.27) формально и в случае р = 0 пренебрежем уравнением (5.26).

124