Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
ds2 = c2 dt2 г — а |
1 + -2-)* ((dx1)2 + |
(dt2)2 + |
(dt3)2) = |
r + a |
|
|
|
|
Д І (л-Чх1 + x2dx2 + |
x3dx3)2, |
(5.6) |
видим, что в линейном приближении, т. е. с точностью до члена, пропорционального о2, обе метрики совпадают. Вопреки этому, во втором приближении получим неко торое отличие от ОТО (см. ниже). Далее, из динамиче ских уравнений как для точечных масс, так и для фотонов следует геодезический закон движения в пространстве с метрикой (5.5). Отсюда получаем в качестве перво го гравитационного эффекта ньютоновское уравнение дви жения в поле тяготения массы гпа (кеплеровское движение), а также красное смещение в поле тяжести, равное
АNV |
а |
} |
Г |
и, наконец, эйнштейновское значение для отклонения света
ѵ |
= |
<5' 7> |
где V — эффективная |
скорость |
света в гравитационном |
поле точечной массы гпа .
Для исследования смещения перигелия потребуется линейный элемент трехмерного пространства только в
линейном |
приближении, а |
компонента £00, наоборот, |
в нелинейном приближении: |
|
|
ds2 = с2 (і |
— -y-J dt2— |
((dxJ)2 -I- (dx2)2 + (dx3)2). |
|
|
(5.8) |
Геодезический закон движения в метрике (5.8) дает |
для |
|
движения перигелия ([1], |
[4]) следующее выражение: |
|
Ä <р = 2к ^1 + 7 а(Ці4+Цг) |
) , т. е. Д ср = ± Л <р Эй;іштей„. |
|
|
|
(5.9) |
Это выражение допускает некоторую корректировку. Об щая внешняя статическая сферически-симметричная мет рика сосредоточенного источника содержит не одну кон станту Шварцшильда, а две константы:
120
е.... = — s.
= 0 (ц, v = 1, 2, 3). (5.10)
Метрика (5.10) создается некоторым неточечным сфериче ским распределением масс (см. §16). Условие а Ф Ь не из меняет ньютоновского приближения как в выражении для смещения перигелия, так и в выражении для откло нения света.
В то время как в вакуумном решении отношение кон станты Шварцшильда а к константе b остается неопреде ленным, то при заданной внутренней структуре источника поля оно может быть определено с помощью условий сши вки внешнего и внутреннего решений. Для физических условий, реализуемых в нормальных звездах (например, в Солнце), имеет место а т Ь (см. §16). Существенные отк лонения от эйнштейновской и ньютоновской теорий начи наются в том случае, если вблизи материи гравитационное поле является сильным.
§ 16. СТАТИЧЕСКОЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИИ
Статический тензор материи идеальной жидкости име ет вид
(5.11)
Линейный элемент пространства— времени возьмем в виде
ds2 = <р(г)* dl2 — giryidx^ + dxl + dxl) - (5.12)
и примем для тетрад и метрики aik плоского простран ства, в котором сформулированы гравитационные уравне ния, выражения
(5.13)
Уравнения для тетрадного поля (4.45)
n h ? + * h ? f t l =* 0 |
(5.14) |
121
приводятся тогда к двум уравнениям: |
|
AtP = 4 " * ф (р + |
(5.15а) |
|
|
дg = ----~Х £ (Р Р)- |
(5-156) |
В случае статического сферпчески-симметричного решения
в вакууме (р |
= 0, |
р= 0) |
получаем отсюда |
|
|
|
<Р= |
1 ---- g = l + — |
г |
(5.16) |
|
|
|
г |
|
|
|
и коэффициенты в метрике (5.10) |
|
|
|||
ёоо = |
----j- 'l > |
— — Vv |
+ “ ) ’ |
|
|
|
ëfvo -= 0 (H-, V= i,2,3). |
|
(5.17) |
Эта метрика резко отличается от статического сферическисимметричного решения (5.6) общей теории относительно сти. В то время как в решении Шварцшильда (5.6) характе ристическая поверхность г= 2т (поверхность Шварц шильда) полупроницаема, поверхность в решении (5.17), соответствующая поверхности Шварцшильда, полностью непроницаема для частиц. К этому вопросу мы еще раз вер немся в конце параграфа.
Другое отличие, как уже было указано, состоит в том, что решение (5.17) зависит не от одной константы/«Шварц шильда, а от двух констант. Поведение обеих этих кон стант устанавливается при заданной структуре островно го распределения материи при помощи условий сшивки. В общей теории относительности для гравитационных по лей, зависящих от времени и принадлежащих одному и тому же распределению материи, имеет место асимпто
тика |
- |
|
2т. |
|
|
|
|
|
|
о 00 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
с теоремами• : |
|
|
0Эйнштейна(и-»ѵ= 1.2,3)и Паули. |
|
||||
Толмана=и |
выражением |
|||||||
|
.. |
|
ё 0ѵ. |
|
|
|
|
|
Масса |
Шварцшильда |
задается при |
этом |
в |
соответствии |
|||
т .= |
JѴ~ |
§ Т ? |
dl = Л J V ~ g |
(ТІ - |
Tl) d3x. (5.18) |
122
В эйнштейновских координатах У — g = 1 она рав
на
т = |
J (То — Ti) dH. |
(5.19) |
В нашем случае идеальной жидкости из тензора мате рии следует
Р, ТІ = — р5]1 (р., V= 1,2, 3), |
(5.20) |
откуда для массы m находим
>п — (-^-j (р + Зр) d3x. |
(5.21) |
В тетрадной теории внешняя статическая метрика (5.16) содержит две константы а и Ь, что вытекает из по тенциалоподобного вида уравнений поля. Чтобы лучше оттенить возникающие при этом новые эффекты, перепи шем уравнения (5.14) и (5.15) в виде
а / г ? + х Л 4 ? = 0 |
(5.22) |
|
и |
Д£ = — хМ\ , |
|
Дср = у.Мо, |
(5.23) |
причем конкретная форма МА определена только с точ
ностью до требования |
М? = ki ТТ (где kf — четыре |
произвольных векторных |
поля). |
Из (5.23) при условии сферической симметрии стати ческого внешнего поля получили на основании гауссовых
интегральных теорем |
|
|
kl (р + |
|
|
||
|
а = |
J Ml dH = ( А ) |
J |
3р) dH, |
(5.24a) |
||
|
b = |
j M\ dH = |
j |
k\ (p — p) dH. |
(5.246) |
||
Вообще говоря, эти интегралы отличаются друг |
от друга: |
||||||
в частности, |
давление |
р приводит к увеличению констан |
|||||
ты а |
и к уменьшению Ь. Если положить, например, kf = |
||||||
= bf |
(вместе |
с ht вводим, таким |
образом, еще 4 вектор |
||||
ных |
поля, которые |
предполагаются |
постоянными), то |
||||
а > 6 |
* [2]. |
|
|
|
|
|
|
Речь идет о частном выборе связи, рассмотренном на стр. 104.
123
В нашем случае потенциалоподобной связи
|
|
|
M f= h tT lk, |
а = |
j |
cp(p + |
3 p )d 3x, |
|
|||||
|
|
|
|
|
b = |
|
£(pJ — P)d3x |
|
(5.25) |
||||
возникает |
второй эффект. |
Из |
уравнений |
(5.15а) |
и (5.156) |
||||||||
и условий cp -V 1 |
и g->-l |
при г-ѵоо |
следует, что со с 1 |
||||||||||
и |
£ > 1 . |
При |
р — 0 |
из |
(5.25) |
и |
(5.19) |
получаем |
|||||
a< cm <b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Чтобы |
сравнить |
оба эти |
эффекта, |
рассмотрим несжи |
||||||||
маемую |
жидкость |
с р = const [3]. Для |
тензора |
материи |
|||||||||
(5.11) в метрике |
(5.12) |
получим |
динамическое уравнение |
||||||||||
|
|
|
|
|
? - ^ |
+ |
(р + |
р ) - ^ = 0. |
|
(5.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
аг |
|
|
|
|
Уравнения (5.15) и (5.26) |
можно |
решить итерациями. |
||||||||||
Для |
этого |
cp, g |
и р разложим в ряд по степеням хр/2; |
||||||||||
после |
подстановки их в в (5.15) |
и (5.26) |
получим |
||||||||||
|
|
Г |
R 2 — r 2 |
|
ср_ + |
3R* — 5R°-r°- + |
2г2 (ъру |
|
|||||
|
= |
|
|
у. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р(— Г “ |
‘I |
|
|
|
45 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2L + |
|
|
(1*)'+ О |
((Я .)’ ) |
(5.27) |
|||
со = |
1 - |
3* a - r2 |
|
60 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь R — радиус сферического распределения материи. Пренебрегая членами высшего порядка малости, из (5.25) и (5.27) получим
а = m Ii,l |
--------------3 |
т |
--------З т - л- . |
|
|
1 |
5 |
Я |
Я2 ' |
(5.28) |
|
ои = m'I 1 НI- -тЯ --I |
-3527 -•-тR-2- -,Ь |
||||
|
Чтобы устранить отсюда эффекты, связанные с давлением, используем (5.27) формально и в случае р = 0 пренебрежем уравнением (5.26).
124