Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

ривать смещение частоты света в гравитационном поле как подтверждение принципа эквивалентности для фотонов, т. е. для электромагнитного взаимодействия. Равная инерт­ ной, тяжелая масса фотона равна т = hvc~2. Тогда из теоремы о сохранении энергии в классической механике следует

что и дает значение смещения частоты фотона в зависимости от гравитационного потенциала. Это смещение было обна­ ружено даже в земных условиях Паундом и Ребка с по­ грешностью ІО-2, для чего были использованы узкие линии безотдачного у-излучения в эффекте Мёссбауэра [28]. Эффект отклонения света появляется при движении фотонов вблизи поверхности Солнца. Этот эффект был обнаружен практически сразу же после его предсказания теорией Эйнш­ тейна, однако погрешность измерений отклонения света невысока и не достигает 10 % (ср. с § 3).

Нужно сказать, однако, что ни смещение частоты, ни отклонение света не являются следствием равенства т Т — m s , так как понятия тяжелой и инертной масс — нереляти­ вистские. Не следует ожидать, что их можно непосредствен­ но применять и в случае частиц, движущихся со световой скоростью. В общей теории относительности (ОТО) сме­ щение частоты света объясняется в рамках хронометрии пространства — времени, а отклонение света (теория Нью­ тона дает для него неверные значения) вычисляется без использования термина «тяжелая масса». В статическом гравитационном поле кинетическая энергия постоянна, а потенциальная энергия в гравитационном поле в релятиви­ стских теориях отсутствует:

dxk

Sok — 7Г~ = const> Po = const- ak

К тому же полученное значение отклонения света зависит от используемых уравнений поля, поскольку уравнения поля описывают именно релятивистскую часть взаимодейст­ вия света с гравитацией. Тем самым отклонение света явля­ ется дополнительным требованием на уравнения поля, а не подтверждением принципа эквивалентности.

Равенство тяжелой и инертной масс приводит к тому, что, наблюдая за движением материальной точки в задан­ ной координатной системе, невозможно указать причину

20

ускорения точки, т. е. невозможно различить гравитацион­ ное и инертное ускорения. Но эта неразличимость только локальная, хотя и ее уже достаточно для локального опи­ сания гравитационных сил средствами, пригодными для описания инерционных сил в ускоренных системах отсчета, а именно с помощью метрики, отличной от метрики прост­ ранства Минковского. Линейный элемент пространства Мин­ ковского

ds2 = Y)ik dxl dxk = c^dP — dx2 — dy2 — dz2 (1.5)

характеризует, следовательно, пространство без гравита­ ции, а координаты (xyzf) образуют инерциальную систему. Для гравитационного поля линейный элемент имеет более общий вид:

Тензор ^характеризует потенциал гравитационного поля, а производные от него — поле сил. В каждой точке прост­ ранства можно так подобрать координатную систему, чтобы выполнялось условие

Это и есть формулировка принципа эквивалентности. Урав­ нение (1.7)описываетполев некоторой локальной инерциаль­ ной системе отсчета в отсутствие всяких сил. Точку Р можно интерпретировать как центр тяжести свободно падающего ящика в некоторый момент времени. Если же ввести гло­ бальную координатную систему (1.5), то все пространство будет свободно от гравитационных сил; и все силы, возни­ кающие при этом в других координатных системах, будут силами инерции. Это значит, что в глобальном смысле раз­ личие между тяжелой и инертной массами существует*.

Эти рассуждения показывают, что принцип эквивалент­ ности тяжелой и инертной масс в случае риманова прост­ ранства нужно переформулировать. Это возможно глав­ ным образом потому, что в каждой точке риманова про­ странства можно ввести локально координаты Минковско­ го, а следовательно, и локальную инерциальную систему.

21

Но любая точка в системе без сил движется по прямой, инвариантное свойство которой — автопараллельность или экстремальность. Это свойство должно сохраниться и для точки, движущейся без сил в произвольной координатной системе. Заметим, что экстремальность — простейшее свой­ ство, поскольку оно относится только к метрике:

В то же время автопараллельность требует определения пе­ реноса от точки к точке. Если такой перенос не будет мет­ рическим, то требования автопараллельности и экстремаль­ ности приведут к различным кривым. Релятивистский под­ ход к принципу эквивалентности приводит к так называе­ мому постулату геодезических: свободные от действия сил точечные массы движутся в римановом пространстве с определенной метрикой по геодезическим линиям, а парал­ лельный перенос в пространстве должен быть сформулиро­ ван особо. Это требование подсказывается тем обстоятель­ ством, что тензор энергии — импульса удовлетворяет усло­ вию

эквивалентности. Но ни одна из этих двух формулировок принципа эквивалентности не дает никаких динамических условий на g ik. Уравнение (1.8) означает, что теорема о сох­ ранении энергии — импульса в СТО будет локально спра­ ведлива и в ОТО. Но в СТО эта теорема следует из уравне­ ний поля. Поэтому нужно принять, что локально все реля­ тивистские волновые уравнения справедливы и в ОТО. Запись этих уравнений в системе координат (1.7) приводит к их общей ковариантности (см. гл. 4).

Ковариантная запись волновых уравнений — это все, чего можно достигнуть на основании предыдущих рассуж­ дений по обобщению принципа эквивалентности. Сформу­ лированный таким образом принцип эквивалентности мож­ но было бы назвать слабым принципом эквивалентности (см. дополнение).

22

Эйнштейновская теория гравитации сформулирована на основе сильного принципа эквивалентности, а именно: в свободно падающей лаборатории, т. е. в системе отсчета с метрикой (1.7) в точке наблюдения, исчезают все гравита­ ционные эффекты. Это значит, что гравитационное поле входит только в метрику, а кривизна пространства не учи­ тывается локально в канонических уравнениях неграви­ тационных полей. Однако такое сильное утверждение экспе­ риментально не доказано. Более того, при описании спинор­ ных полей фундаментальным понятием оказывается не метрика, а система отсчета.

Если гравитационное поле описывать только с помощью метрики и если потребовать общей ковариантности поле­ вого уравнения второго порядка (чтобы в пределе прихо­ дить к теории Ньютона), то общее уравнение гравитацион­ ного поля можно записать в виде

Уравнения Эйнштейна с Х-членом можно вывести из вариационного принципа, но только в случае Х=0 можно получить для замкнутой системы gik-+ г\ік на бесконечнос­ ти. Уравнения (1.9) с X = 0 называют собственно урав­ нениями Эйнштейна*.

Эйнштейновская теория гравитации с удивительной точностью объяснила смещение перигелия Меркурия и предсказала отклонение света в гравитационном поле:

* Космологическая константа X вовсе не означает какую-либо массу покоя частицы — кванта гравитационного поля, как это имеет место, например, в уравнении Клейна — Гордона. Это видно уже из того, что в отсутствие гравитации имеем не gik — 0, а

Sik = Ш-

23

Эти чрезвычайно малые несовпадения теоретических и экспериментальных данных устанавливают предельно вы­ сокий барьер для всех других теорий тяготения, которые претендуют на уточнение эйнштейновской теории (см.

также § 3).

Существенным преимуществом теории Эйнштейна явля­ ется то, что уравнения (1.8) следуют из уравнений грави­ тационного поля автоматически; для этого достаточно вы­ числить тождество Бьянки. Из ковариантности теории сле­ дует существование только одного дифференциального выражения второго порядка, линейного относительно вторых производных от gik и являющегося локальным обобщением волнового оператора. Это выражение — тензор Эйнштейна Еік = R ik—{4^g‘k R. Ковариантное уравнение поля второ­ го порядка, имеющее характер волнового уравнения, дол­ жно иметь вид Еік = —%Тік. По аналогии с теорией Нью­

пульса материи. Но так как из тождества Бьянки следует

Е% — 0, то из Еік = —у.Тік следует Т% = 0, если X= const.

Ковариантность уравнений Эйнштейна допускает про­ извольные преобразования g ik(xl ), образующие обобщен­ ную калибровочную группу координатных преобразований. Принцип ковариантности и динамическое уравнение в тео­ рии Эйнштейна связаны так же, как в макроскопической теории электромагнитизма Максвелла связаны закон со­ хранения электрического заряда и калибровочная инвари­ антность 4-потенциала, с той только разницей, что из ди­ намического уравнения Эйнштейна следуют и уравнения движения источников гравитационного поля, а из закона сохранения заряда в электродинамике уравнение для 4-то­ ка не вытекает. В теории Эйнштейна уравнения поля уже содержат полную информацию о движении пробных час­ тиц и сингулярностей, а следовательно, и о произвольном распределении материи, если задана ее внутренняя струк­ тура.

24