Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

закон сохранения. В пространстве максимальной подвиж­ ности (пространство Минковского или пространство по­ стоянной кривизны) существует десять независимых век­ торов Киллинга, а следовательно, и десять интегральных законов сохранения, эквивалентных законам сохранения механики. В общем случае произвольного риманова про­ странства векторов Киллинга нет, а потому и нет законов сохранения. В стационарном римановом пространстве су­ ществует времениподобный вектор Киллинга; с учетом (1.16) он дает теорему сохранения энергии. Отсутствие закона сохранения движения центра тяжести может привести к тому, что активная и пассивная тяжелая массы частицы будут различаться

Детальное исследование пространств различной под­ вижности можно найти у А. 3. Петрова [27].

Расщепление релятивистской группы Лоренца в рима­ новом пространстве ведет к трем различным толкованиям физических основ общей теории относительности. В. А. Фок обратил внимание на то, что все варианты интерпретации об­ щей теории относительности опираются на высказывания са­ мого Эйнштейна, что первоначальные интуитивные рассуж­ дения Эйнштейна об «общей относительности» в процессе дальнейшей работы претерпели существенные изменения. Вслед за Фоком заметим, что к понятию «принципа отно­ сительности» имеются три совершенно различных подхода.

извольное риманово пространство, т. е. пространство с про­ извольным гравитационным полем, вообще не обладает никакой симметрией, а потому и не имеет групп движений. Если интерпретировать принцип относительности в тер­ минах симметрии пространства — времени, то в общем слу­ чае произвольного гравитационного поля нет никакого обобщенного принципа относительности. Теория гравита-

31

ции ведет, таким образом, к ограничению специального принципа относительности.

э к в и в а л е н т н о с т и в с е х с и с т е м о т с ч е т а , с о в м е с т и м ы х с м е т р и к о й

ds2 = g ik dxl dx,:.

В этом смысле общий принцип относительности является принципом локальной лоренц-ковариантности — ковари­ антности относительно зависящих от координат лоренцевых преобразований систем отсчета; причем сами системы

отсчета представляются тетрадным полем h f (х).

В этом смысле имеется единственный физически содер­ жательный и нетривиальный общий принцип относитель­ ности. Мы увидим позже, что в тетрадных теориях гравита­ ции эквивалентность систем отсчета нарушается гравита­ ционным полем, в результате из общего числа систем вы­ деляется специальный класс инерциальных систем отсчета. При такой интерпретации общей теории относительности все еще остается в силе старое возражение Кречмана и Фо­ ка, что этот принцип справедлив и в специальной теории относительности, причем все связанные с метрикой Мин­ ковского тетрадные поля дают класс общерелятивистских систем отсчета. В гл. 4 мы увидим, что именно эта форму­ лировка общего принципа относительности наиболее кон­ структивна; вместе с принципом эквивалентности она поз­ воляет однозначно определять всю гравитационную дина­ мику вещества и материальных полей.

н о с т ь у р а в н е н и й д л я ф и з и ч е с к и х с и с ­

с о с т а в л я ю щ и х г р у п п у Э й н ш т е й н а , т. е. н е з а в и с и м о с т ь ф и з и ч е с к о г о с о д е р ­

м ы. Это требование логически очевидно и необходимо, так как зависимость физических процессов от способа их опи­ сания была бы нелепостью. Но в такой формулировке общий

32

принцип ковариантности становится физически бессодер­ жательным, так как он должен автоматически выполнять­ ся в любой разумной теории (а следовательно, и в теории гравитационных явлений). На самом деле Эйнштейн истол­ ковывал принцип относительности в духе II, а координат­ ную систему он толковал как «отсчетный моллюск».

В гл. 4 мы увидим, что эта интерпретация принципа ковариантности в действительности полностью оправдана, ибо тогда II и III определения общего принципа отно­ сительности оказываются друг относительно друга «дуально сформулированными». Таким образом, это дает возмож­ ность конструктивно применять общий принцип относитель­ ности как принцип эквивалентности всех систем отсчета, сов­ местимых с некоторой заданной метрической структурой пространства — времени при построении релятивистской теории гравитации.

Однако более общая идея, которая с необходимостью связывает общую относительность систем отсчета с грави­ тацией, не может быть реализована таким путем. Истори­ чески она возникла в 1909—1913 гг. и была высказана Эйнштейном главным образом в его дискуссии с Максом Абрагамом относительно относительности и гравитации [1—5, 8—17].

Дискуссия между Эйнштейном и Абрагамом охватывает вкратце все предложенные определения принципа относи­ тельности (а также различные интерпретации принципа эквивалентности). В особенности Абрагам во многих отно­ шениях предвосхитил точку зрения Фока.

В гл. 4 при изложении теории систем отсчета как тео­ рии гравитации мы еще раз вернемся к высказываниям Эйнштейна относительно сущности гравитационного поля. Но так как основное внимание в настоящей книге уделено не общему принципу относительности, а принципу экви­ валентности, то круг проблем, касающихся систем отсче­ та и гравитационного поля, вообще не будет систематически излагаться. В частности, не будет обсуждаться вопрос о воз­ можности интерпретации эйнштейновского варианта прин­ ципа относительности 1915 г., как реализации той програм­ мы, которая была выдвинута Эйнштейном в его дискуссии с Абрагамом. Этот круг проблем включает применение неголономных координат в общей теорииотносительности и

В дискуссии с Абрагамом Эйнштейн развил идею, что сущность гравитации следует истолковывать как необхо­ димый переход от инерциальных систем отсчета к неинер­ циальным, причем неинерциальные системы отсчета вообще таковы, что их нельзя более вложить в плоскую мет­ рику. Эйнштейн определил гравитационную теорию непо­ средственно как теорию таких неинтегрируемых и нелоренцевых преобразований систем отсчета, которые переводят инерциальную систему отсчета, принадлежащую плоскому пространству—времени, в неинерциальную систему отсче­ та, принадлежащую неплоской римановой геометрии. Эйнштейн хотел в таком смысле пояснить связь общей отно­ сительности систем отсчета с гравитационным полем.

§ 3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ И РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ОБЩЕЙ МЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Принцип эквивалентности — это представление грави­ тационного поля метрикой риманова пространства и су­ ществование динамического уравнения для тензора ма­ терии. Последнее, как мы видели, следует из теории вол­ новых полей в СТО, а именно дифференциальные законы сохранения СТО переходят в динамическое уравнение ОТО. Отсюда и вытекает метрический характер теории гравита­ ционного поля. Теория, по крайней мере, оказывается инвариантной относительно глобальных лоренцевых пре­ образований систем отсчета, однако интегральных за­ конов сохранения в теории уже нет. Из принципа эквива­ лентности вытекает лишь метрическая форма теории, но не конкретный вид уравнений поля. Особенностью теории Эйнштейна является то, что принцип эквивалентности со­ держится уже в самих уравнениях гравитационного поля, и нет необходимости вводить его дополнительно. Конечно, уравнения Эйнштейна определяют систему отсчета только с точностью до локальных преобразований Лоренца.

Все гравитационные эксперименты и расчеты конкрет­ ных гравитационных эффектов относятся к слабому гра­ витационному полю (за исключением, правда, космологии). Поэтому совершенно очевидно, что в любом варианте те­ ории гравитации эти хорошо установленные результаты должны быть приняты в качестве экспериментальной осно­ вы. Все варианты теориц должны правильно описывать ки­ нематику нашей планетной системы, т. е. должны приво­

34

дить к единственной картине движения системы малых масс в сферически-симметричном поле большой массы. Это зна­ чит, что в слабом гравитационном поле, когда

уравнения движения в любой теории гравитации в пре­ дельном случае ѵ2<^с2 должны переходить в уравнение теории Ньютона, а потенциал поля с точностью до членов высшего порядка должен подчиняться уравнению Лапласа.

Принцип эквивалентности дает возможность прийти к уравнениям движения точечной массы

учет которых в (1.17) дает уравнения для ньютоновского, нерелятивистского приближения

причем (1.18) должны следовать из любого варианта тео­ рии гравитации.

Этот принцип соответствия нерелятивистского приб­ лижения любой релятивистской гравитационной теории и нерелятивистской теории Ньютона указывает на физиче­ ский смысл £00 в случае слабого поля как на эквивалент ньютоновского гравитационного потенциала. С помощью (1.19) можно проверить формулу (1.3) для смещения часто­ ты фотона. Собственное время покоящегося наблюдателя

(излучателя) в гравитационном поле равно

откуда для частоты излучаемого сигнала получаем соотно шение

и затем находим связь между излученной и наблюдаемой частотами

В приближении слабого поля это последнее соотношение совпадает с нерелятивистским (1.4).

Если эффект смещения частоты дает возможность убе­ диться в справедливости только принципа эквивалентности, то эффекты отклонения света и смещения перигелия Мер­ курия накладывают условия на сами уравнения гравита­ ционного поля. В теории Ньютона эффект отклонения света вычислить невозможно, поскольку для фотонов в принципе не существует нерелятивистское приближение. Поэтому необходимо с самого начала рассматривать мет­ рику статического сферически-симметричного гравитацион­ ного поля, общий вид которой можно установить, пользу­ ясь только граничными условиями [24]:

где т — масса центрального тела в геометрических едини­ цах, т = GM/c2. Чтобы из (1.20) получить затем кеплеровские орбиты, следует положить у = —2. Из трех коэффициентов а, ß, S один выбирается произволь­ но, а а и (28-j-ßy) инвариантны относительно координатных преобразований, причем (28+ßy) определяется из уравне­ ний поля в вакууме, а а зависит от внутренней структуры центрального тела. В теории гравитации Эйнштейна коэф­ фициенты определяются с учетом теоремы Биркхофа, так

36

Здесь 1Іи — минимальное расстояние от луча света до источ ника гравитационного поля. Если к теории Ньютона при­ бавить принцип эквивалентности, то становится возмож­ ным и расчет отклонения света, причем получаемое таким

путем значение (—ути) составляет лишь половину эйнш­ тейновского отклонения.

Так как а зависит от внутренней структуры источника, точнее от его уравнения состояния, то один эффект, напри­ мер отклонение света, можно использовать тогда для уста­ новления вида уравнений гравитационного поля, а второй — смещение перигелия — для их проверки. В теории Эйнш­ тейна для проверки используются оба эффекта.

Изменение скорости света в гравитационном поле

дающее частичный вклад в отклонение света, можно про­ верить непосредственной локацией планет [30]. Время прохождения сигнала при локации планет вблизи источни­ ка оказывается несколько большим, чем соответствующее время в пространстве Минковского*. Этот эффект можно интерпретировать и по-другому, а именно расстояние в римановой геометрии зависит от способа измерения. Если считать расстояние до планеты как произведение скорости света на половину полного времени от излучения сигнала до его приема, то оказывается, что оно зависит не только от положения планеты (что естественно), но и от относитель­ ного положения Солнца. Для проверки теории можно вос­ пользоваться также законом падения плотности излучения

* Наоборот, в теории Ньютона фотон должен был бы уско­ ряться [37].

37