Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

Так как динамическое уравнение есть просто одна из формулировок слабого принципа эквивалентности, то оно должно содержаться во всех вариантах гравитационных теорий, даже в тех случаях, если оно и не вытекает из урав­ нений поля. Здесь нужно позаботиться лишь о том, чтобы общая ковариантность теории, т. е. калибровочная инва­ риантность гравитационного потенциала, не накладывала на Тік дополнительных условий.

А теперь сопоставим различные степени обобщения и различные формулировки принципа эквивалентности. Для этого рассмотрим мысленный эксперимент с бесконечно малым невращающимся свободно падающим лифтом. Ре­ зультаты этого мысленного эксперимента будем постепен­ но обобщать, и на каждом этапе обобщения будем оцени­ вать меру их физической общности. Из равенства тяжелой и инертной масс следует, что гравитационное ускорение пробной частицы относительно лифта в его центре тяжести равно нулю. Это утверждение проверено экспериментально Этвешем и Дикке, и его можно считать справедливым и в более общей ситуации, т. е. для всех материальных полей.

Если траектория материальной точки в системе отсчета лифта — прямая, т. е. геодезическая, то она должна оста­ ваться геодезической в любой координатной системе. Это значит, что принцип (или постулат) геодезических есть не более чем ковариантная формулировка условия mT = ms. Это условие можно немедленно обобщить на частицы с ну­ левой массой покоя, хотя само понятие массы принадле­ жит ньютоновской механике и его нельзя непосредственно перенести на частицы, движущиеся со световой скоростью.

Описание гравитационного поля в терминах неевклидо­ вой геометрии указывает лишь на глобальное отличие сил инерции от гравитационных; локально они эквивалентны, т. е. каждой геодезической можно подобрать такую коор­ динатную систему, в которой метрика будет иметь вид gik = у\;й+ 0 2. Примером такой координатной системы явля­ ется система касательных единичных векторов вдоль гео­ дезической падающего лифта.

Используя принцип геодезических, следует всегда пом­ нить, что пробными могут быть только бесструктурные частицы. Например, частицы со спином движутся уже не по геодезическим, так как они реагируют на тензор кри­ визны [25].

Принцип геодезических можно развить и для непрерывно распределенной материи. Для пыли, т. е. для невзаимо­

25

действующих точечных масс, тензор материи имеет простои вид:

Тш = p-о и1ик.

Из закона сохранения массы {\xQul). L = 0 получаем сразу

uffcit* = 0 -v 7 f* = 0.

В пространстве Минковского исчезает обычная дивергенция Т '\, а ковариантная запись этого утверждения суть Т'Д = 0. Таким образом, динамическое уравнение справед­ ливо и для непрерывной материи.

Но от ковариантной записи сохранения тензора энер­ гии — импульса непрерывной материи нельзя непосредст­ венно перейти к уравнениям поля. Анализ проблемы Райнича (из структуры тензора энергии — импульса вывести структуру уравнений поля) указывает на следующий воз­ можный путь дальнейшего обобщения динамического урав­ нения. Независимо от внешнего гравитационного поля, уравнения всех волновых полей в системе отсчета беско­ нечно малого свободно падающего лифта всегда имеют ка­ нонический вид (т. е. в уравнения входят только первые производные). Тогда уравнения поля в общем случае не­ евклидова пространства легко получить, заменяя обычные производные их ковариантными обобщениями. Грубо го­ воря, СТО справедлива для всех волновых полей только локально.

Такое обобщение принципа эквивалентности не содер­ жит пока никакой принципиально новой физической инфор­ мации. Однако в теории Эйнштейна принцип эквивалент­ ности обобщается еще раз: в свободно падающей системе отсчета не зависят от внешнего гравитационного поля и гравитационные эффекты. Другими словами, кроме метрики Минковского, в этой системе нет других величин, обязан­ ных гравитационным полям. Гравитация описывается только с помощью 10 независимых компонент метрического тен­ зора.

Система отсчета (см. § 12) hf, применение которой ста­ нет ясным при выводе уравнения спинорных полей, одно­ временно с g ik = -qik + Ог должна тоже принять вид h f = = 8f Ог-

Принцип эквивалентности, лежащий в основе ОТО, называется сильным. Он нарушается в том случае, если для

26

описания гравитационного поля, помимо метрики, исполь­ зуются другие величины (скалярное поле в скалярно-тен­ зорных теориях и поле тетрад в тетрадных теориях); тогда число независимых переменных в соответствующих тео­ риях возрастает.

Подведем итог нашим рассуждениям и рассмотрим по­ следовательность все более жестких формулировок прин­ ципа эквивалентности.

I. Инертная масса равна пассивной тяжелой массе. Нерелятивистское приближение.

II. Точечная частица, находящаяся во внешнем грави­ тационном поле, движется по геодезической. Метрика про­ странства полностью определяется внешним гравитацион­ ным полем.

III. Тензор материи подчиняется динамическому урав­ нению. Это с необходимостью следует из формулировки II для пыли, а в предельном случае СТО является просто законом сохранения энергии — импульса. (Феноменологи­ ческий предельный случай для формулировки IV.)

IV. СТО локально справедлива для всех волновых по­ лей, кроме гравитационного (слабый принцип эквивалент­ ности). Уравнения полей в присутствии гравитации полу­ чаются из канонической их формы в СТО заменой обычных производных ковариантными.

V. Метрика адекватно описывает гравитационное поле (сильный принцип эквивалентности). В системе отсчета свободно падающего лифта исчезают все гравитационные эффекты.

§ 2. ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ РИМАНА И ОБЩИЙ ПРИНЦИП КОВАРИАНТНОСТИ

Теперь нам предстоит выяснить, как реализуется ло- ренц-инвариантность в римановой геометрии, необходи­ мость которой вытекает из принципа эквивалентности. В пространстве Минковского (СТО) три группы преобразо­ ваний — группа координатных преобразований, группа преобразований систем отсчета и группа движений — сов­ падают. В римановой геометрии их нужно различать.

Если в пространстве Минковского координатные пре­ образования всегда ограничены условием инвариантности метрики (1.5), то в римановой геометрии этого условия нет. Это ограничение на координатные преобразования в СТО приводит к редукции общей группы преобразований к

27

группе Лоренца. Расширение группы допустимых коор­ динатных преобразований при переходе от пространства Минковского к пространству Римана возможно чисто фор­ мальным образом, даже несмотря на то, что глобальная метрика (1.5) может существовать только в пространстве без гравитации. Более того, при подходящих координатных условиях даже в римановой геометрии можно ограничи­ ваться преобразованиями Лоренца; например, это возможно в гармонических координатах. Следовательно, обобщение координат — не решающий момент при переходе от СТО к ОТО.

Принципиальное различие геометрий Минковского и Римана заключается в подходе к понятию системы отсчета. Система отсчета — это поле 4-реперов, обеспечивающих связь тензорных величин и наблюдаемых скалярных ве­ личин. В каждой точке пространства задается система че­ тырех ортонормированных векторов, образующая базис касательного векторного пространства. Измеримые ска­ лярные величины тогда являются проекциями соответст­ вующих тензоров на этот репер (см. гл. 4).

Физический смысл времениподобного вектора репера — изображение часов в определенном состоянии движения. Компонента некоторого интервала, соответствующая на­ правлению времениподобного вектора, дает значение раз­ ности хода времени, измеряемой этими часами. Пусть дан

Произвольный вектор в базисе кд имеет компоненты

рк = РА кд

или

pA = pkkA.

Если базис ортонормирован, то

где кдВ — тензор Минковского, и локальная аффинная инва­ риантность базиса (1.10) сводится к локальной лоренцевой инвариантности. Однако репер этим еще не установлен, так как уравнения (1.11) инвариантны относительно ло­

28

кальных, т. е. зависящих от места, преобразований Лорен­ ца

Те свойства пространства, которые определяются лишь метрикой gik, при таком преобразовании остаются неизмен­ ными. Однако введение преобразований (1.12) придает риманову пространству принципиально новое свойство — дальний, или абсолютный, параллелизм.

С помощью одних лишь метрических объектов вообще нельзя произвести сравнение тензоров на конечном рас­ стоянии. Геодезический параллельный перенос, с помощью которого можно производить сравнение геометрических объектов в пространстве Минковского, в римановом про­ странстве будет зависеть от способа переноса и потому не может уже служить эффективным инструментом сравне­ ния объектов. Задание же поля тетрад позволяет осущест­ вить сравнение на расстоянии путем сравнения скалярных проекций тензоров на оси соответствующих тетрад:

преобразований Лоренца, но инвариантно относительно гло­ бальных, т. е. не зависящих от места, лоренцевых преобра­ зований. Таким образом, глобальные лоренцевы преобра­ зования переводят тетрады в им эквивалентные, а локаль­ ные — изменяют форму сравнения объектов на конечном расстоянии.

В пространстве Минковского поле тетрад определяется геодезическим переносом, а потому в нем допустимы лишь глобальные лоренцевы преобразования систем отсчета. В римановом пространстве с не равной нулю кривизной не существует геометрически выделенного конечного пере­ носа, поэтому в нем допустимы локальные преобразования. Так как в принципе можно ввести другие тетрады и в про­ странстве Минковского, то оно отличается от риманова пространства именно наличием выделенного поля тетрад, а не группой их инвариантности.

По отношению к группе движений риманово простран­ ство существенно отличается от пространства Минков­ ского: риманово пространство существенно более жестко. Движение есть бесконечно малое координатное преобра­ зование типа

29

Это преобразование используется для определения неко­ торой точечной подстановки: каждой точке Р сопоставля­ ется точка Р', которая в старой системе координат имела координаты

х к = xk -f- е %k.

являющиеся в новой системе координат координатами точ­ ки Р. Метрика в точке Р в новой координатной системе

Віь (Р) = gib {Р) - zgib t i - *gu ^ ь + 0 2

сравнивается с метрикой в точке Р' в старой координатной системе:

gib {P') = gib (Р) + е V gib, I + °2-

Координатное преобразование (1.14) означает движение только тогда, когда эти метрики равны, т. е. когда беско­ нечно малое координатное преобразование метрики экви­ валентно некоторому смещению двух точек. Движение — это изометрическое отображение пространства самого на себя. Условие того, что бесконечно малое координатное преобразование является движением, можно записать в другой форме

Движение образует некоторую группу Ли, а число неза­ висимых решений уравнения (1.15), т. е. число векторов Киллинга, определяет число независимых параметров груп­ пы. В пространстве Минковского существует десять линей­ но независимых векторов Киллинга, а группа движений изоморфна неоднородной группе Лоренца.

Векторы Киллинга позволяют непосредственно перейти от динамических уравнений к интегральным законам сохранения. С учетом (1.15) из соотношений

A ° = C o n s t

30