Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf

значение величины дисперсии ошибки само по себе не дает на­ глядного представления о выигрыше от применения оптимального кодирования. Поэтому целесообразно получить зависимость отно­ шения дисперсии ошибки при примитивном кодировании к диспер­ сии ошибки при оптимальном кодировании от значности переда­ ваемых чисел при различных энергиях Н2. Назовем это отношение коэффициентом выигрыша в точности передачи числа:

ваемых чисел. Каждая кри­ вая на этом графике соответ­ ствует определенной значно­ сти числа п. Эти графики на­ глядно показывают, что с уве­ личением т скорость роста зыигрыша уменьшается. Из этих же кривых видно, что осо­ бенно больших значений вели­ чина выигрыша в точности до-

стигает при передаче больших чисел.

5S

Приведенные графики могут оказаться полезными для практи­ ческого использования при проектировании систем подобного типа. По этим графикам, не прибегая к расчетам, можно определить, на какое уменьшение дисперсии ошибки можно рассчитывать, ес­ ли применить способ оптимального формирования сигнала на пе­ редающей стороне. Однако в практике чаще встречаются задачи несколько иного рода. Проектировщику чаще всего придется ре­ шать вопрос о том, какое основание счисления целесообразно вы­

определить выигрыш G, если известно'основание т. Последнее обычно выбирается из соображений, не связанных с рассматривае­ мым вопросом и в данном случае может считаться заданным.

59

Из рассмотрения графиков следует, что с увеличением основа­ ния счисления для заданных значений величины тп выигрыш G надает. Этот результат легко понять, если учесть, что с увеличе­ нием т число разрядов п уменьшается и защитные свойства кода с оптимальным распределением энергии между разрядами числа проявляются тем меньше, чем меньше разрядов. Так для чисел из

диапазона { 0-f-lu24 } выигрыш в точности падает вдвое (с 70 до 35), если основание счислений изменить от т = 2 до т = 1 6 . При­

приходится заменять ближайшими, для которых п целочисленное. Эти случаи отображены пунктирными линиями на рис. 14.

Итак, если основание счисления выбрано и значность переда­ ваемых чисел определена, графики па рис. 14 позволяют оценить возможный выигрыш в точности передачи, если применить опти­ мальное кодирование, что в свою очередь позволяет оценить целе­ сообразность его применения.

3.3. МИНИМИЗАЦИЯ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

В 3.2 было показано, что наибольший выигрыш при кодирова­ нии с учетом цены ошибки получается в том случае, если основа­ ние кода т = 2. Учитывая это обстоятельство, а также широкое распространение бинарных сигналов, приведем в данном парагра­ фе расчет оптимального распределения энергии Я2 между разря­ дами двоичного числа. При этом целесообразно рассмотреть два случая:

—когда сигналы, отображающие 0 и 1, противоположны и прием их осуществляется поэлементно когерентным приемником. Этот случай соответствует синхронному приему фазоманипулироаанных колебаний;

—когда сигналы ортогональны и фаза их заранее не известна. Этот случай соответствует частотной манипуляции с приемом по огибающей.

Когерентный прием. При таком приеме противоположных сиг­ налов, как об этом сказано выше, вероятность ошибки

где

1

|‘ е 2 dz

— оо

60

Вспомогательная функция, необходимая для решения вариацион­ ной задачи по оптимальному распределению заданной энергии Я2 между разрядами двоичного числа, в данном случае будет иметь следующий вид:

Дифференцируя эту функцию поочередно по всем hk и приравни­ вая результат к нулю, получим систему п+ 1 уравнений с я +1 не­ известными, из которых п неизвестных Лк и неопределенный мно­ житель К. Эти уравнения однотипны и имеют вид

то К не зависит от k и в данном уравнении является величиной по­ стоянной. Правую часть выражения (3.25) можно рассматривать

как произведение весового коэффициента (цены риска) 22(к_1) на асимптотическое значение вероятности ошибки в приеме элемента k-ro разряда с энергией hk2, если прием ведется когерентным спо­ собом и Лк2 > 2.

61

Следовательно, и при когерентном приеме бинарных противо­ положных сигналов вклад в общую дисперсию ошибки при пере­ даче двоичного числа, осуществляемый каждым разрядом при оп­ тимальном распределении энергии Я2, одинаков:

1

(3.26)

2 • hk У 2 тс

Этот важный вывод будет использован ниже для построения ин­ женерного метода расчета функции распределения

Систему уравнений (3.24) вследствие трансцендентности в явном виде решить нельзя. Одним из достаточно простых методов, даю­ щих достаточную точность, является следующий.

Метод иллюстрируется графиками, приведенными на рис. 15. Естественно, что изложенный метод не является единственным.

62