Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf

ошибки не равно нулю? Уменьшится ли величина среднего квадра­ та ошибки, если устранить смещение? Каким способом это целесо­ образно сделать? Эти вопросы обсуждаются в следующем пара­

2.7.БИНАРНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ КАНАЛ

Как было показано в 2.4, средний квадрат ошибки при переда­ че двоичных чисел по каналу с шумами складывается из диспер­ сии ошибки и ее смещения. Поскольку в несимметричном канале условие (2.49) отсутствия смещения в общем случае не выполяется, устранить последнее возможно только с помощью специальных мер, например с помощью такого разбиения пространства прини­ маемых колебаний, при котором полные ошибки первого и второго рода были бы равны друг другу. Практически это сведется к тому, что при принятии решения на приемной стороне следует так произ­ водить сравнения, чтобы ошибки маловероятных сигналов происхо­ дили чаще, чем более вероятных. Однако при этом прием не будет оптимальным в смысле критерия идеального наблюдателя, так как сумма полных ошибок первого и второго рода не будет минималь­ ной. Эти мероприятия устраняют смещение, но приводят к росту дисперсии ошибки, значение которой может превысить прежнее значение среднего квадрата ошибки, определяемого формулой

(2.54).

Вопрос о том, уменьшится ли средний квадрат ошибки при устранении смещения, может быть решен путем сравнения вели­ чины

которая выражает средний квадрат ошибки после центрирования

40

Причины, которые приводят к неравенству априорных вероят­ ностей символов в разрядах числа были рассмотрены в 2.5. При этом удовлетворить условию (2.49) можно, изменив величину го при принятии решения на приемной стороне в соответствии с со­ отношением

го

Из интегрального уравнения (2.73) определяется z0'. Как видно из рис. 3, при этом вероятность ошибки /?к(1|0) увеличивается, ес­

41

Здесь г0 определяется интегральным уравнением

^0 —ж

Оценить целесообразность устранения смещения ошибки таким способом можно, вычислив величину

Если величина этой разности положительна, то мероприятия по устранению смещения ошибки уменьшают средний квадрат ошиб­ ки, если отрицательна — то увеличивают. Конкретные результаты зависят от величины р к (0) и рк (1), от отношения мощности сиг­ нала к мощности шума, от вида функции плотности вероятностей.

Второй случай.

/М ()Н Рк (1) - 0,5; р к (0|1)*/>к (1;0).

Тогда среднеквадратичная ошибка

П

Д'/V2 - S 22'k_u-0,5[^k (0,1) ь Гк (1:0)] + k - 1

ип

42

а для определения А/?к —pk'(0jl)—рк (0|1), надо воспользоваться уравнением

Здесь z0 определится из уравнения .

Он ничего нового по сравнению с первыми двумя в способе оп­ ределения zq' и Д/7к не содержит.

Реально встречающиеся на практике случаи асимметрии тако­ вы, что смещение ошибки по отношению к ее дисперсии составляет

43

от десятых долей до единиц процентов. Это объясняется тем, что под знаком двойной суммы в выражении (2.54) стоит произведе­ ние весьма малых величин — разностей вероятностей ошибок пер­ вого и второго рода в разноименных разрядах двоичного числа.

ЕЯ*

Рис. 5.

На рис. 5 приведены графики зависимости среднего квадрата ошибки от асимметрии у в том случае, если порог z0 остается не­ изменным и /?к(0|1) — Рк (1(0). Из графиков видно, что средний

44

квадрат ошибки остается практически неизменным, так как вели­

чина смещения ошибки (AN)2 составляет для указанных, выше ус­ ловий примерно 0,01%. Таким образом, выбор оптимального зна­ чения порога z0' при поэлементном приеме символов двоичного числа при неравных априорных вероятностях этих символов имеет целью не столько устранение смещения ошибки, сколько уменьше­ ние ее дисперсии.

Другой вывод, который можно сделать из приведенных расче­ тов (пунктирная кривая на графике рис. 5), состоит в том, что в ряде случаев можно не считаться с наличием смещения в ошибке и использовать в инженерных расчетах формулу для дисперсии ошибки.

45

ГЛАВА III

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ кодового СЛОВА ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПЕРЕДАННОГО ЧИСЛА

Полученные в главе II выражения для среднего риска, приня­ того в качестве критерия оптимальности системы, позволяют пе­ рейти к решению задачи оптимизации структуры сигнала, опреде­ ляемой статистической моделью системы передачи цифровой ин­ формации. Эта задача, как было сказано выше, сводится к задаче синтеза оптимальной структуры кодового слова, обеспечивающей минимум дисперсии ошибки восстановления примятого числа.

В главе II было показано, что в большинстве случаев, пред­ ставляющих практический интерес, среднеквадратическая ошибка близка по величине к дисперсии ошибки. Поэтому при решении задачи по оптимизации системы передачи будем пользоваться вы­ ражением

П

k—1

Как видно из формулы, изменить величину дисперсии ошибки возможно либо за счет изменения основания кода от, либо за счет изменения величины ркош. Изменение основания от влечет за со­ бой, при определенных условиях, изменение разрядности переда­ ваемого числа п и величины вероятности ошибки в k-м разряде РксшИсследования влияния величины основания кода на точ­ ность передачи, приведенные многими авторами (7,8], показали, что чем выше основание кода от, тем более эффективна система передачи. Однако при этих исследованиях не учитывался ряд огра­ ничивающих условий, часто имеющих место в практике. Поэтому представляется целесообразным провести исследование некоторых

46

специальных случаев, когда выбор оптимального значения величи­ ны основания системы счисления зависит одновременно от ряда ог­ раничивающих условий. Это исследование будет приведено в по­ следующих параграфах.

Однако основное внимание в данной главе будет уделено дру­ гому способу уменьшения дисперсии ошибки, при котором основа­ ние кода остается неизменным, а изменяется только величина ве­ роятности ОШИбкИ />Кош •

Тривиальным является решение, когда путем увеличения энер­ гии сигналов, отображающих элементы кода, вероятность ошибки во всех k разрядах уменьшается. Этот путь увеличения точности передачи количественной информации используется всегда, когда такая возможность представляется. Но сколь ни велики были бы энергетические ресурсы передатчика, всегда есть желание более экономно расходовать энергию при передаче информации. С дру­ гой стороны, в ряде случаев, как это бывает в бортовых передатчи­ ках радиостанций, энергия источников питания ограничена техни­ ческими возможностями, а дальности линий связи весьма велики.

энергия, расходуемая передатчиком на кодовое слово, оставалась бы постоянной, т. е.

Учитывая, что на приемной стороне предполагается поэлементный оптимальный прием, при котором реализуются потенциальные возможности приемника в отношении помехоустойчивости и веро­ ятность ошибочного приема при этом зависит только от отноше­ ния энергии сигнала к спектральной плотности шума:

задачу минимизации величины дисперсии ошибки можно сформу­ лировать следующим образом. Требуется найти такой способ рас­ пределения относительной энергии Н2 между разрядами т-ичного

числа, при котором дисперсия ошибки ЗоШ была бы минималь­ ной. Итак, задача сводится к отысканию функции

h i — f(k ) ,

47

при которой

п

Такая постановка задачи является достаточно общей, так как она допускает различные способы технической реализации кодирую­ щего и декодирующего устройств, достоинства которых будут об­ суждаться ниже.

Естественно, предлагаемый путь увеличения точности передачи количественной информации приводит к усложнению приемной и

веса аппаратуры, который окажется меньше увеличения веса ис­

Эти увеличения весов зависят от современного состояния техно­ логии и искусства проектировщика и поэтому точно заранее опре­ делены быть не мюгут. Но энергетический выигрыш может быть определен заранее, что весьма важно при решении задачи синтеза системы передачи информации.

3.1. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ МЕЖДУ РАЗРЯДАМИ W-ИЧНОГО ЧИСЛА ПРИ КОГЕРЕНТНОМ

ПОЭЛЕМЕНТНОМ ПРИЕМЕ

Задача отыскания функции /(£), которая доставляет минимум функционалу (3.2) и при этом удовлетворяет дополнительному условию (3.1), относится к классу изопериметрических вариацион­ ных задач и может быть решена методом множителей Лагранжа. Для решения этой задачи составим вспомогательную функцию

(3.3)

Здесь Я — неопределенный множитель.

48