Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П р и к о гер ен тн о м

п р и ем е р а зв е р н у т о е

в ы р а ж ен и е ф у н к ц и и

(3 .3 )

б у д е т и м ет ь в и д

 

 

 

 

 

 

Д/г„/г2>. . ЛП;Х)=

 

=

-1-

1 ) ( т -

l ) 3y2e x p ( - 2 1 n 2 ) 5 ] f f i 2(k_1)e x p ^ - ^ - 2j

+

 

 

 

+ Х ( S Лк* — / / * ) .

(3 .4 )

 

 

 

vk-l

 

 

В со о тв ет ств и и

с п р а в и л а м и м е т о д а со ст а в и м си с т е м у у р а в н ен и й

 

 

^

^(Aj, ^2»• • • >Ап;Х)=

0 ;

 

 

 

dh. F ( h 1, h 2,...,h„-,X) =

0;

 

 

 

 

 

 

(3 5 )

^- / 7(Л|,Л2,...,Л „ ;Х )= 0;

£hk — Н 2 — 0 .

к=1

П о с л е д и ф ф ер е н ц и р о в а н и я п ол уч и м д л я л ю б о г о k

в ( т )

-

-

h2

 

к

(3 .6 )

 

/га•а(Ь-,>е-т + х = о.

З д е с ь

 

 

 

 

т

+

1 )(т — 1) ' е х р ( -

2 In 2 ) .

9(m) = - j r ( m

О т с ю д а н а й д е м м н о ж и т ел ь Я:

 

 

 

 

 

h?

 

Х = -^ - 9 { т ) т ^ к 1}е ' 2 .

(3 .7 )

4 С. И. Терентьев.

49

Так как к не зависит от к. то из полученной формулы следует, что при любом к стоящее справа произведение должно быть постоян­ ным.

Первая часть выражения (3.7) по смыслу является дисперсией ошибки в к-м разряде. Отсюда непосредственно следует, что при оптимальном распределении энергии между символами разрядов, дающем минимум дисперсии ошибки, ошибки каждого из п раз­

рядов передаваемого числа вносят

одинаковый

вклад

в общую

дисперсию ошибок. Это весьма важно отметить,

так как на этом

свойстве может

быть построен

простой

метод

расчета

функции

распределения

энергии

hk2

между

разрядами

передаваемого

числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

справедли­

Поскольку выражение (3.7), как уже отмечалось,

во для любого к, то можно записать равенство

 

 

 

 

 

 

т- е

г:-.- m-k е

•->.

 

 

 

(3.8)

После логарифмирования

левой и правой

части будем иметь

 

 

2 In т -

= 2 A In т -

.

 

 

(3.9)

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л к 2 — Л , 2 - 1 - 4 (А -

1 ) 1 п / и .

 

 

 

( 3 . 1 0 )

Используя дополнительное условие

(3.1),

с учетом

(3.10)

получим

И

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

Н - — V

[Л,2-1-4 (А -

1) In ml

n h 2 -f 4 In

 

(A— 1). (3.11)

к

1

 

 

 

 

 

 

к*»1

 

 

После элементарных преобразований

(3.11) получим

окончатель­

ное выражение для искомой функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/У"

212 А

 

1)]1п/я,

 

(3.12)

 

Ak ,,pt~-7 (Л)

-f

 

 

На рис. 6—9 приведены графики Ak0pt=/(A)

для различных Я2

и т при когерентном поэлементном приеме символов. Анализируя полученное выражение для функции распределения энергии Н2 между разрядами числа, можно отметить следующее.

Рис. 6.

4*

51

52

Рис. 8.

53

Средний разряд передаваемого числа, имеющий номер

ь - Ч ± ±

2

(в том случае, если число разрядов п нечетное), имеет энергию

Лп+1 =

^ \

(3.13)

—

п

 

Энергия разрядов, номера которых возрастают, также возрас­ тает, а у разрядов с убывающими номерами — убывает. Это при-

Рис. 9.

водит к тому, что вероятность ошибки по мере возрастания стар­ шинства разряда убывает, причем настолько, что это убывание

компенсирует возрастающий весовой коэффициент /я21к-1’так, что

^ 2k_1>-/?k ош = const.

(3.14)

Заметим, что формула (3.12) применима только до таких значений п, при которых энергия младшего разряда

А,3> 0 .

(3.15)

Легко видеть, что неравенство (3.15), подставленное в (3.12), при­ водит к условию применимости формулы (3.12):

 

2

V

J

,

Я*

 

(3.16)

 

2

' 21nw

 

 

 

 

Иными словами, для m-ичного числа с

относительной

энергией

Н2 число разрядов должно быть меньше

величины,

определяемой

правой

частью неравенства

(3.16),

в противном случае

формула

(3.12)

не применима.

 

 

 

следует

из

(3.12) н

Условие применимости, которое также

(3.15), можно записать в другом виде:

 

 

 

 

 

Н 2>

2 In т (га2 — и),

 

(3.17)

т. е. суммарная энергия Н2 /г-значного /и-ичного числа должна быть больше некоторой величины, определяемой правой частью неравенства (3.17), в противном случае формула (3.12) не приме­ нима.

Итак, задача по определению функции оптимального распреде­ ления энергии, при которой дисперсия ошибки при поэлементном когерентном приеме /n-ичного числа будет минимальной, решена.

Эту задачу принципиально не трудно решить и для случая некоге­ рентного поэлементного приема, однако в общем случае для т-

ичного числа выражение для вероятности ошибки, записываемое в виде (2.38), не позволяет получить окончательный результат в компактной и удобной для вычисления форме. Поэтому, опреде­

ление функции распределения

энергии для некогерентного прие­

ма будет приведено ниже для

основания кода т — 2.

3.2. ДИСПЕРСИЯ ОШИБКИ В ПЕРЕДАЧЕ /ЯИЧНОГО Л-ЗНАЧНОГО ЧИСЛА ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ МЕЖДУ РАЗРЯДАМИ

Определив относительную энергию сигналов, отображающих символы разрядов передаваемого числа, легко определить величн-

55

ну вероятности ошибки приема этих сигналов, а следовательно, и величину дисперсии ошибки в передаче числа:

 

 

k=l

 

 

Подставляя в это выражение вместо

Ль opt

его значение из (3.12) ,

получим

 

 

 

 

3ош mill —

Ш^ ехр {

T +

2<2 * - ( » + I) l n » }

 

k = 1

{ - T

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.18)

Вынося па знак суммы все члены, не зависящие от k, будем иметь

°ош min — в ( ^ i ) 6 Х р |

Я 2

— (п -f l)lnm • ^

т*е~Шпт.

2 п

k-l

Учитывая, что

S m 2ke - 2k,nm = «, k= l

а

е (п + \)\а m _ m n + (

получим окончательное выражение для минимальной дисперсии ошибки в приеме /п-ичного я-значного числа при оптимальном ко­ дировании:

 

 

_ Я!

(3.19)

 

с1шт1а= Ц т )-пт а+'е 2» .

Или в развернутом

виде

 

з

_

п(т— 1)3/2 ехр

{т + 1). (3.20)

®ош min —

Это минимально достижимая величина дисперсии ошибки при по­ элементном приеме. На рис. 10 и 11 приведены графики дисперсии ошибки в зависимости от п при различных значениях Я2. Однако

56

Смотрите также файлы