Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf

однако при своей простоте он обеспечивает достаточную точность инженерных расчетов функции hk2 — f \ k) (рис. 16, 17). Поскольку

Рис. 16.

в рассматриваемом случае нельзя аналитически выразить f(k), то нельзя дать аналитическое выражение дисперсии ошибки при оп­ тимальном распределении.

Некогерентный прием. Рассмотрим второй случай, когда по­ элементный прием сигналов, отображающих 0 и 1, производится по огибающей принятых колебаний z(t). В этом случае, как извест­ но, ошибки в приеме сигнала с относительной энергией Лк2

1

к=1

Вэтом случае вспомогательная функция

F{hu h2, . . . , h n-,\)

(3.31)

63

Рис. 17.

64

Система уравнений для определения функции f(k), дающей ми­ нимум функционалу (3.30), запишется так:

Это и позволяет сделать вывод о том, что и в случае некогерентного поэлементного приема при оптимальном распределении энер­ гии вклад ошибок в каждом разряде с учетом их веса одинаков.

Поскольку выражение (3.33) справедливо для любого k от 1 до п, то можно записать следующее выражение:

Отсюда после элементарных преобразований имеем

Подставляя полученное выражение во второе уравнение системы, получим

к =1

Раскрывая сумму и делая необходимые преобразования в (3.36), получим выражение для относительной энергии сигнала, отобра­ жающего символы первого разряда двоичного числа:

Подставим (3.37) в (3.35) и получим окончательную формулу для функции распределения энергии Н2, дающей минимум дисперсии ошибки:

По формуле (3.38) на рис. 18, 19 построен график функции

Лк opt ---=■■/ (Л).

Рис. 18.

Из графиков видно, что распределение энергии в этих случаях

.мало отличаются друг от друга. Это может позволить в практике пользоваться формулой (3.38) как единой для обоих случаев и из­ бежать тем самым трудоемкого графического решения уравнения

(3.32).

После того, как было получено аналитическое выражение зави­

к =1

6()

Более наглядно о величине выигрыша можно судить по графи­ ка зависимости

(3.40) можно пренебречь. Тогда формула для выигрыша в точно­ сти передачи двоичных чисел будет иметь следующий вид:

2n + i

му приему, а (3.41) получена в предположении, что прием некогерентпый. Эго объясняется тем, что для обоих случаев вид функ­ ции j(k) одинаков, а от выражения вероятности ошибки формула выигрыша не зависит.

S . 4 . СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

ПРИ МИНИМИЗАЦИИ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ

Представляет интерес исследовать изменение скорости переда­ чи информации в том случае, если путем кодирования с учетом цены ошибок минимизируется дисперсия ошибки. Полученное та­ ким способом уменьшение дисперсии ошибки могло бы быть до-

68

стигнуто другим способом, а имение: увеличением энергии каждо­ го разряда. При этом изменилась бы величина вероятности ошиб­ ки в приеме символов, отображающих цифры разряда. В этом слу­ чае вероятность ошибки для всех разрядов была бы одинаковой. Будем называть эту вероятность в дальнейшем эквивалентной ве­ роятностью приема символа и обозначать р3. Найти величину ве­ роятности р 9 не представляет труда. Для этого нужно приравнять величину дисперсии ошибки при примитивном кодировании к ве­ личине дисперсии ошибок при оптимальном кодировании:

В правой части этого выражения р ош соответствует вероятности ошибки в приеме символа передаваемого числа при примитивном кодировании. Относительная энергия сигнала, отображающего элемент, при этом равна h2.

Из (3.42) следует, что

Таким образом, при примитивном кодировании для уменьшения дисперсии до величины, которую имеет дисперсия при оптималь­ ном кодировании, нужно уменьшить вероятность ошибочного прие­ ма символа в G раз. Этого можно добиться только путем увеличе­ ния энергии сигнала, отображающего символ кода. Определим по­ требное увеличение энергии, полагая, что прием некогерентный.

В этом случае

а

--j- - 2!ч2

/>ош=У т - и

69