Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
страненных помехоустойчивых кодов. Однако их следует считать оценочными, так как при расчете учитывались только гарантиро ванно исправляемые кодом ошибки и не учитывались те искаже ния, которые исправляются с вероятностью, меньшей единицы.
4.2.СРАВНЕНИЕ С КОДАМИ ХЭММИНГА
Линейные избыточные коды, относящиеся к кодам Хэмминга, в настоящее время хорошо разработаны. Они достаточно просто реализуются в аппаратуре повышения достоверности. Предназна чаются они для исправления независимых ошибок, возникающих в дискретном канале связи.
Связь между кратностью исправляемых ошибок и избыточно стью кода устанавливается границей Хэмминга, основанной на принципе плотной упаковки сфер. Эта граница утверждается сле дующей теоремой.
Любой код длины п' с |
минимальным кодовым |
расстоянием |
|
dmia = 2 tK+ 1 или больше, |
должен иметь по крайней мере |
||
(п' - п ) = lo g , [1 + |
+ с„2 + . . . + £пи] |
(4 .1 6 ) |
|
проверочных символов. Используя это выражение, можно полу чить выражение для максимально возможной величины кратности гарантированно исправляемой ошибки, если избыточность кода и длина информационной части кодового слова заданы:
п' |
п |
-^-IOg2 X Сп'. |
(4.17) |
|
п' |
||
|
|
1=0 |
|
Поскольку |
|
|
|
*н |
|
|
|
£ |
Сп < |
(*и + 1) tfn", |
|
1 - 0 |
|
|
|
можем записать приближенное равенство, которое устанавливает связь между оценкой исправляющей способности кода и его из быточностью:
2п'г= (/„ + 1) |
п'\ |
(4.18) |
t* 1(« '-* „ )!
6* |
83 |
Учитывая, что r —\—R, а также формулу (4.12), запишем выра жение для аргумента рх, соответствующего коду Хэмминга:
(4.19)
Здесь
(4.20)
Полученные выражения позволяют провести сравнение между кон кретными кодами Хэмминга и методом оптимального распределе ния энергии между разрядами двоичного числа. К сожалению, это сравнение не может быть проведено аналитически к виду., транс цендентности выражений (4.12), (4.18) и (4.20). Это сравнение можно провести только расчетным путем, используя полученные формулы и графики, изображенные на рис. 30, 31, 32.
4.3. СРАВНЕНИЕ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КОДАМИ БОУЗА—ЧОУДХУРИ
Помехоустойчивые циклические коды, способные обнаруживать и исправлять ошибки в кодовых комбинациях, за последнее время получили признание из-за достаточно высокой их эффективности и сравнительно простых методов технической реализации алгорит
мов кодирования и декодирования. В связи с этим представляется целесообразным сравнить точность передачи чисел, характеризую щуюся дисперсией ошибки в воспроизведении их на приемной сто роне при использовании циклических кодов и метода оптимально
го распределения энергии кодового слова между разрядами. При этом полагается, как это уже было сказано в предыдущем пара графе, что в обоих случаях энергия кодового слова одинако ва и интенсивность шума в канале постоянна.
В 4.1 было получено выражение (4.15) для определения коэф фициента т), который принят за критерий сравнения кодов по дис персии ошибки. Чтобы им воспользоваться, необходимо установить
связь между кратностью |
гарантированно исправляемых ошибок / |
и скоростью передачи R, |
которые входят в формулу (4.15). |
Рис. 30. |
Рис. 31. |
Рис. 32. |
OD
СЛ
Боуз и Чоудхури показали [9], что для любых целых положитель ных чисел / и tH существует циклический код с длиной кодового слова
n' = 2l |
1. |
(4.21) |
с минимальным кодовым расстоянием
^min — 2 tK+ 1.
Такой код способен гарантированно исправлять tn -кратные ошиб ки в кодовой комбинации и обнаруживать ошибки кратностью 2tu. При этом число проверочных символов в таком коде не превышает величины
I tK= п' — п. |
(4 22) |
Описанные выше свойства кода позволяют установить связь меж ду избыточностью кода г и кратностью гарантированно исправляв мых ошибок tH. При этом следует подчеркнуть, что эта связь на ходится в предположении, что число проверочных символов точно равно I /и Это дает верхнюю оценку избыточности циклического кода.
При достаточно больших длинах кодовых комбинаций можно полагать, что
я 'ж 2*. |
(4.23) |
Тогда
I = log2 я'.
Учитывая (4.22) и то, что
получим
и н = talog2 п' = п — я
R
Отсюда
п — n R
t* = |
п |
|
R log2~R |
Или, если учесть, что r= 1—R, |
|
|
п-г |
|
Rb>g2 - ^ |
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
86
Таким образом, выражение (4.27) устанавливает связь между кратностью ошибок, гарантированно исправляемых кодом, и из быточностью. Подставив полученное выражение в (4.12), запишем формулу для (3:
пг |
, _ п |
Г, |
п |
R |
< $ > { h 0 V R ) \ |
L |
||
R log* R |
|
(4.28) |
|
|
|
^ - [ 1 - Ф ( h V R ) |
||
Теперь, подставляя р„ в (4.15), |
можно подсчитать величину ?]„ для |
|
циклического кода. Для этого необходимо задаться только избы точностью г. Как уже было ранее сказано, ввиду сложности зави симости (4.15) проследить ее целесообразно с помощью графиков. С этой целью по формулам (4.15) и (4.28) были построены графи
ки т]ц = /(Л 02), приведенные |
на рис. 33—35. Для наглядности |
на |
этих графиках внизу дана |
шкала вероятностей ошибок в канале |
|
при примитивном кодировании. Связь шкалы по оси Л02 и оси |
рош |
|
определяется выражением |
|
|
- Ф ( А о ) .
Графики построены для десяти-, двенадцати- и шестнадцатираз
рядных чисел. Коэффициент R |
и параметр t „ |
кодов определялись |
||||
по выражению (4.26). |
|
|
|
(кривая 2 на рис. 33 |
||
На этих же рисунках помещены кривые |
||||||
и кривая 2 |
на рис. |
35) |
?)„ = |
/ (Н02) |
для кодов, у которых |
|
|
|
|
t* > |
ПГ |
_ ■ |
(4.29) |
|
|
|
|
R loga -щ- |
|
|
Анализ |
кривых |
на |
рис. 33—35 позволяет |
сделать следующие |
||
выводы. В области малых значений h o 2, соответствующих вероят
ностям ошибок символов равнодоступного двоичного |
кода рош — |
|
= 10~4-:-10~3 |
и больше, более точную передачу |
обеспечивает |
оптимальное распределение энергии кодового слова между разря дами. В этом случае дисперсия ошибки в восстановлении числа на приемной стороне при использовании циклического кода возраста ет на 2—3 порядка. Но, начиная с некоторого значения h o 2, соот
ветствующего вероятностям ошибки р„.,т= 10~4 и менее, более точная передача обеспечивается при использовании циклического кода,
87
\
Граница, от которой по. оси Л02 циклические коды дают боль шую точность передаяи, сдвигается влево (в сторону меньших зна чений h02) при увеличении разрядности передаваемых чисел и при
п =16 достигает Рош ^СГ3.
Интересно также отметить, что увеличение мощностицикличе ского кода за счет увеличения" избыточности приводит к тому, что эта граница сдвигается вправо. Анализ хода графиков ‘Ци. = ,}{р 0ш)
показывает также, что для данного кода существуют такие усло вия в канале (вероятность ошибки), при которых особенно невы годно применять циклические коды. Об этом свидетельствует на личие максимумов кривых Т]ц = / (Рощ)'
Итак, как и в отношении к примитивному кодированию, метод оптимального перераспределения энергии по сравнению с цикли ческими кодами дает выигрыш в точности передачи, если каналы,
по которым она осуществляется, не очень хорошие (Рош =10~3 и более). В малошумящих каналах лучшие точности обеспечивают циклические коды. Этот результат интуитивно понятен. В сильно шумящих каналах уменьшение энергии символа с целью ее выде
ления на избыточные (контрольные символы) приводит к резкому увеличению вероятности искажения символов избыточного кода. Это увеличение настолько значительно, что приобретенные за
щитные свойства не могут скомпенсировать (исправить) те много численные искажения, которые появляются из-за недостатка энер гии сигнала, отображающего символ.
В результате вероятность искажения кодовой комбинации рь, а следовательно, и эквивалентная вероятность искажения символа /V велики.
При передаче по хорошим каналам (с малой интенсивностью шума) «выделение» частй энергии символа на образование конт-
грольных символов окупается с избытком увеличением помехоус тойчивости кодовых комбинаций.
I В заключение отметим, что в случаях, близких к реальным, ког
да n = 10-f-12, а />ош — 10“3 ч - 10_ ‘, оптимальное распределение энергии кодового слова между его разрядами обеспечивает боль шую точность. Однако к конкретным значениям величин, опреде
ляемым из приведенных графиков, следует относиться с осторож ностью, так как графики имеют оценочный характер. При реше
нии вопроса о целесообразности применения сравниваемых мето дов кодирования следует иметь в виду большую простоту техни ческой реализации оптимального распределения энергии. Однако допрос этот будет рассмотрен ниже.
89