Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf

С учетом выражения для вероятности ошибок при когерентном приеме формула (2.54) принимает вид

П

Как было сказано ранее, часто можно полагать, что априорные вероятности символов в канале равны. Это предположение спра­ ведливо в тех случаях, когда величины, подлежащие передаче, распределены в диапазоне своих значений равномерно и макси­ мальное значение величины соответствует максимальному значе­ нию «-разрядного числа. Если же разрядность числа позволяет передать большее значение, чем максимальная величина, то даже при равномерном распределении передаваемой величины I вероят­ ности символов МО) и M l) не будут равны. Тем более они не будут равны друг другу в различных разрядах, если закон пере­ даваемой величины отличен от равномерного. В последующем параграфе приведен метод и результаты его применения для оп­ ределения априорных вероятностей символов в разрядах двоично­ го числа для наиболее простого случая, когда передаваемая вели­

2.5.АПРИОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СИМВОЛОВ

ВРАЗРЯДАХ ДВОИЧНОГО ЧИСЛА

Пусть числа, подлежащие передаче по каналу связи, распреде­ лены равномерно в диапазоне 0-H-yvraax. Тогда разрядность двоич­ ных ойнсел в соответствии с (1.2)

Наибольшее число, которое может быть передано с помощью ti- разрядного двоичного кода,

М = 2".

Если М > ,Vm, вероятности Рк(0) и yPk(l) в общем случае не равны. Их значение будет зависеть от величины N mи номера раз­ ряда к. Задача состоит в определении этой зависимости.

Запишем одно под другим все л-значные двоичные числа от О до N m в порядке их возрастания:

0 00.. .0 .. .00

1 = 00.. .0 . . .01

2 ?= 00.. .0 . . . 10

(2.59)

^тл\ — 1-^ii—1*-^-к • ’ ■Д4 X| ,

В этой таблице п столбцов и N ~Ь 1 строк. В последней строке в старшем разряде всегда будет стоять единица, так как в против­ ном случае первый слева столбец таблицы состоял бы только из нулей и оказался бы излишним. Это указывало бы на то, что знач-

образуют группы, в которых чередуются следующие подряд 0 и 1. Закономерность группирования легко выявляется из сопоставле­ ния столбцов. Если группа полная, то число /к (0) подряд следую­ щих нулей, входящих в группу, равно числу 4 ( 1) подряд следую­ щих единиц:

этого символа. Однако вначале необходимо из столбца выделить полное число групп

36

После выделения полного числа групп символов в к-м столбце ос­ танутся г>к символов:

Если число этих символов меньше числа символов в полугруппе этого столбца или равно ему, то остались только нули, т. е. усло­ вием отсутствия единиц в оставшихся символах столбца является неравенство

Если после выделения целого числа групп число оставшихся сим­ волов

то единицы в оставшихся элементах столбца есть.

Выделим теперь из оставшихся элементов к-го столбца целое

Теперь общее число единиц в &-м столбце определится выраже­

В этой формуле требует пояснения второе слагаемое. Смысл его легко понять, если принять во внимание, что в k-ы столбце поми­ мо единиц, содержащихся в полных группах и определяемых пер­ вым слагаемым формулы (2.66), имеются А единиц, определяе­ мых формулой (2.65). Число оставшихся после выделения целого

Именно это обстоятельство и учитывает второе слагаемое форму­ лы (2.66).

Вероятность появления единицы в к-м разряде двоичного числа

37

Совершенно очевидно, что

делить как разность между числом единиц в этом разряде у всех чисел из диапазона ]0 : Nmax} и числом единиц у чисел из диапа­

зона Ju : yVminj. После соответствующих простых преобразовании формула для определения априорной вероятности появления еди­ ницы в разрядах двоичного числа будет выглядеть так:

Разработанная методика может позволить определить априор­ ные вероятности появления символов в разрядах тп-ичного числа при различных законах распределения передаваемых чисел.

ность появления символов значительно отличается от 0,5 особен­ но тогда, когда число Л^шах значительно отличается от степени 2к. Из графиков также видно, что изменение вероятности символов в младших разрядах носит периодический характер и приближается

38

к 0,5 всякий раз, когда величина Лг,„ кратна 2к Подсчитанные по такой методике априорные вероятности символов в разрядах пе­ редаваемых чисел совместно с формулами для вероятностей оши­ бок дают возможность по формуле (2.54) подсчитать величину среднего квадрата ошибки при передаче

равным дисперсии ошибки, а смещение ошибки обращается в нуль:

В дальнейшем будет показано, как уменьшится величина диспер­ сии ошибки, если символы разрядов числа формировать на пере­ дающей стороне оптимальным образом. Поэтому представляет интерес подсчет величины дисперсии ошибки в передаче двоично­ го числа по бинарному симметричному каналу при примитивном кодировании, г. е. когда никаких мер по повышению помехоустой­ чивости на передающей стороне не предпринимается. В этом слу­

irrt

Второй сомножитель формулы представляет собой геометри­ ческую прогрессию со знаменателем q= 4. Сумма этой прогрессия

а дисперсия ошибки

Так выражается средний квадрат ошибки, если канал симметрич­ ный. Не тривиальным является вопрос: как следует поступить п том случае, если канал не является симметричным и смещение

39