Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
интегральных уравнений Фредгольма второго рода, к которым применимы теоремы Фредгольма [56]
bi |
|
|
|
N t |
bk |
|
|
(*) — J |
Фг (0 Gu (х, t)dt-\-Yi |
J Ѣ (0 Gik (X, t) dt = Fh (132) |
|||||
al |
|
|
|
|
k = l |
ak |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?i W Pi W |
,Л . . . . . . . |
|
|
G« (*’ |
|
|
|
----- 1------ Фi (hx) Ф,- (lt) dl; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
(133) |
|
Gik (X, t) = |
— |
|
|
|
|
|
|
’ ’ 2a?.{x)x |
|
|
|
|
|
||
|
I ' ' |
-CO |
|
|
|
|
|
|
ls ^ is ^ M ; |
|
|
k=hi\ |
|
||
|
|
|
CO |
|
|
|
|
G,* (*, о = |
5Г2ТТ- |
1 |
- — |
л |
M h (hPa) g* (*, X) |
(134) |
|
|
2ct;17 |
(л:) л: |
J |
|
|
|
|
|
1 |
|
—О |
|
|
|
|
где
Я/2
Ь ( М ) = 1Й Г , j
. I ^ iv i 1 IVl - J - L
G ik (* , О = T ^ T |
T |
- |
J -Р - |
)/ - - |
) Ф *(W ) h |
M Ѣ ( К X ) d % , |
(1 3 5 ) |
||
2а7 |
( x ) |
X |
•> |
|
& |
|
|
|
|
1 |
|
|
— CO |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѣ ( Ь , |
|
x) |
= |
2_ |
d_ |
X J |
hk (Xx sin •&) |
sin 'Ö dO, |
(136) |
|
n |
dx |
hk ofe) |
||||||
с “ (х' 0 = і г Д Д |
J |
PtT |
W |
(137) |
г ' 1 |
— со |
|
|
|
Л4 ф -1 |
г |
A , |
A f - f 1 ^ k |
A ; i =f= k. |
Значения букв, снабженных индексами в формулах (132)— (137) — те же, что и в формулах (113) и (114), где индексы опущены.
Все интервалы (akbk) могут быть приведены к одному наиболь шему интервалу, если соответствующие ядра доопределить нулем.
46
Рассмотрим применение метода в этом случае на конкретном при мере. Определим поле электростатической электронной линзы, состоящей из плоского конденсатора, рассмотренного нами на рис. 7 и помещенного между пластинами кольца шириной 2а и радиусом г0 (рис. 9). Примем потенциал кольца равным нулю,
а потенциалы пластин |
конденсатора — рав |
||||
ными |
1 и — 1. |
Тогда |
потенциал |
U (г, г) |
|
можно записать |
в виде |
|
|
|
|
U = u 1 + u s, 0 < г < г0> Z sg Ä ; |
|||||
и = и , + и 4, 0 < г < т 0, 1* |
$ в /і; |
||||
и |
= и я + и я, г ^ г 0, |
I2 |
|
||
и |
= u t + u é, г ^ г 0, |
12 |
|
||
После разделения переменных в уравне нии Лапласа функции Ut (і = 1, 2, 3, 4) можно записать в виде
Рис. 9. Сечение обла сти при решении зада чи методом связанных интегральных уравне ний
и г = [ Ах (X) |
{°j t r\ |
sin Xz dX, 0 ^ r < ; r 0; |
j . |
' 0 o) |
|
0 |
|
|
CO |
|
|
= jА (X) |
sin Xz dX, r0 < r; |
|
о0
|
CO |
|
(139) |
Us = |
\ A 2( X ) - ^ J 0(Xr)dX, |
\z\<h - |
|
|
0 |
|
|
|
CO |
|
|
U ,= |
Г |
ze-b |zl |
\z > h . |
Ä2 {X) |
ze-- Sjj r J0(Xr)dX, |
||
J |
|Z e |
|
|
о |
|
|
|
Условия сшивания производных и выполнение граничных условий приводят к уравнениям
j A1(X)s'mXzdX+ j Л2(X) |
J0(Xr0) dX = 0, 0 <z<ö; |
|
J |
X sin Xz dX |
(140) |
|
||
Аг (Я),2%rqIq(Xf0) Kq(Яг0і — 0, z > a ; |
||
и |
|
|
о э |
CO |
|
{ A2(X)J0(Xr)dX+ [A1 (X)44 ¥ \sinXhdX = 1, r^zR- |
||
J |
J |
^0^ 0/ |
о |
0 |
|
( 141)
CO
r > R -
47
Согласно (95), (97), (119) и (120)
|
|
а |
|
А (Я) = 2г0І0(Яг0) к 0 ( К ) f % (t) Jo M |
dt; |
||
|
|
Jф2 (0 cos Я/ dt. |
( 142) |
А2 (Я) = |
Jte' |
|
|
При подстановке (142) в (140), следует учесть, что |
|||
|
я / 2 |
|
|
sh Яг = Яг j |
/„ (Яг sin#) sin ft d#; |
(143) |
|
|
|
Я/2 |
|
70 (Яг) = |
-A |
j ch (Яг sin ■&) dft. |
(144) |
Тогда подстановка решения (142) в системы (140) и (141) при тож дественном выполнении вторых уравнений систем приводит их первые уравнения к системе интегральных уравнений Фред гольма второго рода
и |
а |
|
Фі (*) ~ JG11 (X, t) t i (0 dt |
J Gu (x, t) ip2 (t) dt = 0. |
(145) |
Здесь
Gu (X, t) = t J [ 1 — 2Яг0/0 (Яг0) Ко (Яг0)] Jo {Xt) JQ(Хх) Я d l ;
_ ( G w ( x ,/); |
|
0 - < х < а ; |
R ^ t ^ a ; |
|
° 12(Х’ ° " " 1 0 ; |
|
0 < х ^ а ; |
||
СО |
|
|
|
|
Си =~ j е- Л/г/ 0(Ях) XJ0К) cosÄi t&; |
||||
о |
|
|
|
|
а |
|
а |
|
|
Фг (х) J С22 (X, t) тр2 (/) dt -j- [ 021 (x, /) ^ |
(/) dt = —— |
|||
о |
|
о |
|
|
G22 (*, 0 |
(G22, X, 7 С Sb |
|
||
О, |
x , t £ S \ S 1-, |
|||
|
||||
O ^ x s ^ R ,
Sx — квадрат
0 ^ t ^ R \
O s ^ t ^ R ,
■S — прямоугольник 0
(146)
(147)
(148)
(149)
48
(j22 (x, t) = |
j e~2lh cos Яхcos Xt dX = |
|
|||
|
|
о |
|
|
|
= |
Г_______ !_______ + |
_______ I_______ I • |
(150) |
||
Л |
I 4h2 + (x — t)2 |
' 4h2 + |
( x + t ) 2 J ’ |
|
|
|
|
|
U X |
s |
|
|
|
Ö21 |
0 |
|
(151) |
G21 {X, t) = |
|
|
|||
|
|
|
0 sg: t == |
|
|
G*2\ (X, t) = |
- ^ - |
f sin Xh K0(Xr0) XtJ0 (Xt) ch (Яд:) dX. |
(152) |
||
|
я |
j |
|
|
|
Интегралы (147) и (152) сходятся при R<C r0, а < й, что имеет место в нашем примере. На участках х ^ г 0 или x ^ h следует в 1 или 3-е из уравнений (140) подставлять соответственно U2 или Ui из (139), что снова обеспечивает сходимость всех интегра лов.
Ядра могут иметь особенность в тех случаях, когда поверх ности смыкаются. Однако интегралы, содержащие особенность, нетрудно выделить. Для этого достаточно, например, в (147) пред
ставить Gi2 в виде |
|
Gu = |
J [4~ е_ХЛ/° (k*) kJo^ го) ~ |
|
о |
— ^ r - |
cos Яго] cos М d X - ~ - ^ (То). |
Выражение в квадратных скобках ведет себя как 0 (1/Я2) при Я —>оо. Однако для смыкающихся поверхностей целесообразно решать задачу методом переопределенных рядов, изложенным в §3. Метод связанных интегральных уравнений удобен при далеко отстоящих друг от друга незамкнутых поверхностях и особенно эффективен, когда потенциал задан на отдельном незамкнутом участке координатной поверхности.
В приложении 5 дан пример, иллюстрирующий применение . обобщенного метода связанных интегральных уравнений в наи более сложном случае [потенциал отыскивается в форме (121)]. Решена важная для электронной оптики задача о поле цилиндри ческого конденсатора с учетом краевого эффекта.
§ 5. Некоторые методы расчета магнитных полей
Общие методы решения задач теории потенциала применимы и для расчета магнитных полей в тех случаях, когда допустимо ставить краевую задачу для скалярного магнитного потенциала Ф,4
4 А- Г- В л а с р в |
49 |