Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

заранее имеющей нужную особенность в производной на канте бес­ конечно тонкой поверхности.

Общий метод решения парныхуравнений. Остановимся сначала на случае, когда потенциал задан лишь на одном участке коорди­ натной поверхности. Решение краевой задачи ищем в виде разло­ жения по некоторой системе функций, а смешанные граничные условия используем для определения коэффициентов разложения. Применив к решению различные операторы на различных участ­ ках границы, получаем парные интегральные уравнения, или пар­ ные ряды.

Пусть потенциал V (р) задан на участке р — р 0, причем а ^ ^ q b, где р и q — координаты некоторой ортонормированной системы. (Мы рассматриваем для простоты наиболее интересный с практической точки зрения двумерный случай, к которому сво­ дятся осесимметричные и плоские задачи.) В случае осесимметрич­ ной области потенциал после разделения переменных записывается в форме

со

где X — постоянная разделения; / (%q), h (Хр) и h (Хр) — собствен­ ные функции уравнений, получающихся после разделения пере­

менных, причем h (Хр) и Я (Хр) линейно независимы, а Я (Хр) обе­

37

Не ограничивая общности рассмотрения, симметризируем

функцию V (q) относительно точки q — и примем эту

точку за начало координат. Это позволяет для простоты вместо выражений (88) рассмотреть, не меняя обозначений, уравнения

Предложим достаточно общий метод решения уравнений (91). Заметим, однако, что для многих задач этот метод является частным случаем более общего подхода, рассмотренного в работе [69 ]. Систему функций / (kq) можно считать ортонормированной на б-функцию 1, т. е.

J e « W i W L = e,', - ?)-

О

Разложение (87) должно допускать дифференцирование под знаком интеграла, приводящее ко второму из уравнений (91). Для этого последние должны допускать приведение к виду, при котором в случаесоответствующего выбораа (у) выполняется условие

Точные количественные законы для этого случая сформулированы в теореме 127 [64].

В большинстве физических задач, встречающихся на практике, уравнения (91) без труда можно привести к виду, где условия (93) и (94) выполняются. Для тех практически важных случаев, когда эти условия не выполняются, предложим особый подход, описан­ ный ниже.

образования, позволяющие перейти к функциям, ортонормированным таким способом.

38

где ф (/) — искомая функция, имеющая интегрируемую произ­ водную. Все ее свойства, используемые нами при применении фор­ мального аппарата, проверяются исходя из свойств окончательного уравнения, полученного ниже, которому удовлетворяет ф (t).

Подстановка (97) во второе из уравнений (91) удовлетворяет его тождественно.

Действительно, из (97), обозначив второй из интегралов (91) через Q2, получаем

со

Интегрирование последнего выражения по частям дает

о• о

Подставив (100) в (99) и изменив порядок интегрирования, прихо­ дим к равенству для первого из интегралов (99), следующему из ус­ ловия (92)

39

Аналогично, заменив в выражении (101) а на t, доказываем, что

Так тождественно выполняется второе из уравнений (91). Искомая функция ф (t) определяется как решение первого из уравнений (91) после подстановки в него решения (97) и ряда преобразований. Непосредственная подстановка (97) в первый из интегралов (91)

приводит к уравнению

40