Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

и воспользовавшись представлением / 0 (рх) в виде интеграла Бес­ селя [11], нетрудно показать, что <р (/) можно записать в виде

сравнив результаты и воспользовавшись известными [11] теоремами

.о разложении в интегралы Фурье и Ханкеля, нетрудно показать, что

Обычно в конкретных случаях удается доказать, что первое собственное число ядра больше единицы и уравнение, таким обра­

зом, разрешимо. Добавим, что преобразованием ф* = ] / а 2х х Х ф (х) ядро может быть симметризировано.

Подстановка (96) в Q2— второй из интегралов (91) ■— приводит с точностью до постоянного множителя к выражению для плот­ ности поверхностного заряда, если рассматривать этот интёграл

п — нормаль к заряженной поверхности р = р 0, причем в случае ортогональной системы п = е9. Подстановкой (96) в (99) можно преобразовать (101) и (102).,

41

Например, (101) можно записать при учете (92) после подста­ новки а sin Ф = X как

J а sin ft dft I* f (kq) f (hx sin ft) p (A) dX =

оo'

к тому же особенность в плотности, возникающую на заряженных

zи парных рядов—■один из самых эффектив­ ных для задач со смешанными краевыми

уравнениям с ядрами специального вида, являющимися частным случаем рассмотренных выше ядер, посвя­ щены, например, работы [80, 40, 32, 74, 75]. Сумматорные уравне­ ния анализируются в работах [43, 44]. Изложенный в настоящем параграфе аппарат является некоторым чисто формальным обоб­ щением подхода, реализованного в перечисленных работах. Так, в работе [32 ] рассмотрена задача о поле плоского конденсатора с круглыми пластинами радиусом R (рис. 7), расположенными на расстоянии 2h друг от друга. В случае разноименно заряженных

42

пластин уравнение, приведенное там, можно получить, если в вы­ ражениях (91), (113), (114) и (112) положить

q = r\ p ~ z ; <р (х) — ~ cos х; а(х) = ~ ;

ли

Характерным случаем, когда изложенный выше метод требует некоторого усложнения, является задача, сводящаяся к разложе­

при z —>оо, а С определится в процессе решения уравнений из условия

Ф (0) = 0. (122)

Уравнения (91) решаются относительно амплитуды Фурье функ­ ции Ф (z).

В правую часть первого из уравнений (91) подставляются ус­

43

Постоянная С определяется из условия

оо

Условие (125) позволяет от интегрального оператора Фурье для потенциала перейти к унитарному оператору Фурье—План- шереля [4], действующему во всем пространстве Ь 2 и в данном случае совпадающему со своим обратным оператором. Тогда урав­ нения (91) принимают вид:

где B' (к) = kB (к).

Теорема Фурье—Планшереля позволяет к этому виду пол­ ностью применить аппарат, изложенный выше.

Уравнения (91) приведены к виду (126) только для того, чтобы применимость построенного общего формального аппарата стала очевидной. Вместо (126) целесообразно, разумеется, решать сле­ дующие эквивалентные им уравнения, к которым также применим предложенный аппарат:

Например, в случае единичного потенциала на рассмотренном уже нами кольце шириной 2а и радиусом г0 (см. рис. 8) мы прихо­ дим к решению уравнения (113) с ядром (114), где следует принять

Здесь J г (х) — функция Бесселя вещественного аргумента. За функцию и (г) в правой части первого уравнения (127) целесооб­ разно принять значения при г = г0 потенциала кольца, заряжен­ ного с равномерной единичной плотностью

44

где С — постоянная, определяемая из (125).

Обобщение на случай нескольких поверхностей. В том случае,

когда потенциал задан на нескольких участках координатных поверхностей, которые принадлежат к одной координатной сис­ теме, задача решается, как и выше, для каждого участка поверх­ ности отдельно. Для каждого из участков потенциал записывается в виде (87).

Полное решение записывается в виде суперпозиции таких потенциалов. Удовлетворение граничных условий и условий непре­ рывности потенциала всюду и его производных вне заряженных поверхностей приводит к системе связанных интегральных урав­ нений

со М со

J « ) / , М * + V J 4 ( 1 ) 4 Ы . Ы Ч 4 +

После этого применение рассмотренного аппарата к каждой паре уравнений (131) с индексом і приводит к системе связанных

45