Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Здесь штрих означает дифференцирование по времени т; L — рас­ стояние от анода до катода в безразмерных единицах; R0 и фб — радиальная координата и угловая скорость частицы в начальный момент времени, выраженные в безразмерных единицах.

Введение безразмерных единиц и запись уравнений движения в виде (182)—(184) облегчают расчет геометрически подобных сис­ тем, весьма часто встречающихся на практике.

При отсутствии магнитного поля за единицу длины F удобно принимать длину линзы. Тем самым автоматически определяется из выражения (181) величина которая в этом случае не имеет физического смысла, а представляет собой условную постоянную, необходимую для задания характерного времени Т.

Вычисление правых частей уравнений движения. Наибольшая вычислительная работа требуется для определения правых час­ тей уравнений (182)—(184). Подробно методы вычисления электро­ статических и потенциальных магнитостатических полей уже были рассмотрены в главе I. Напомним лишь, что в любом случае с помощью наиболее общего метода, изложенного в § 1, потенци­ альное поле можно вычислить на поверхности вспомогательного цилиндра, включающего в себя весь рабочий объем линзы, в кото­ ром требуется интегрировать уравнения (180). После этого поле внутри области в узлах интегрирования вычисляют, например, по формуле (17). В приложении 3 доказано, что потенциал при этом всегда можно приблизить гармоническими функциями в метрике С (со), где со — область интегрирования, с такой точностью, что погрешность производных, вычисленных либо по разностям с соответствующим шагом, либо непосредственным дифференци­ рованием (17), принимает наперед заданное значение. Это следует, например, из неравенства (404) приложения 3.

О методах вычисления магнитного поля в тех случаях, когда заданы эквипотенциальные ферромагнитные поверхности, уже говорилось в § 5.

Вычисление магнитного поля от непрерывно распределен­ ных источников (электромагнитная катушка без брони) произ­ водится следующим образом.

Если магнитное поле осуществлено набором электромагнитных

где m — число реализующих магнитное поле катушек; in — число ампер-витков на 1 мм2 меридионального сечения обмотки катушки; аг, bi, rit Ri — координаты кантов катушки; Н* (Z, R, Z', R') — вектор напряженности магнитного поля кругового тока с ко­ ординатами Z ' , R ' .

61

К (k) и Е (k) от модуля &а = ^ + /^ 2 + ^z _ z -^2 можно найти, на­

пример, в таблицах [56]. При расчетах на электронных цифровых

= 2АІгН0, где А — проекция магнитного вектора-потенциала на еф вычисляется по формуле

[ { 1 ^ ^ ) К Щ _ Е Щ ] . (188)

При малых значениях R вычисление Н*%и а по формулам (186)

и (187) затруднительно, так как Нр> и а при R —>0 представляют собой неопределенность вида 0/0. При R <CRS эти величины удоб­ нее вычислять с помощью известных рядов

Значение R e выбирается таким, чтобы первые несколько членов разложения (189) давали при R = Re результат, который с тре­ буемой точностью совпадал бы с результатом, полученным по фор­ мулам (187). Правую часть третьего из уравнений (182) при R —>0 целесообразно вычислять в виде разложений, получаемых с по­ мощью рядов (189) для потенциала а (Z, R). Эти разложения вы­ ведены ниже [см. (192)]. Подобные разложения полезны и в двух первых уравнениях движения, если длина системы много больше рабочего поля эмиттера, и таким образом R — параметр малости.

62

Это значительно экономит время, затрачиваемое на самую тру­ доемкую часть процесса интегрирования — вычисление правых частей уравнений движения 118]. Необходимы подобные разло­ жения и при выводе аберрационных формул для катодных линз.

Разложение по малому параметру. Функции hR, hz, а и U представим аналогично рядам (189) в виде хорошо известных [55 ] степенных рядов по переменной R. Эти разложения позволяют выразить функцию, обладающую в пространстве осевой симмет­ рией, через значения этой функции и ее производных по коорди­ нате Z на оси Ог

63

а функции а£ (2), bt (2) и S, (2) выражаются только через значе­ ния магнитного поля и его производных на оси симметрии. Так,

дуется выбирать настолько малым, чтобы в процессе численного интегрирования при вычислении правой части уравнений для определения функций рп, gn и Sn в произвольной точке достаточно было бы произвести линейную интерполяцию. Таблицы заготав­ ливают один раз для всех траекторий. Ввиду того, что при чис­ ленном интегрировании основную работу составляет вычисление правых частей уравнений, указанный выше прием во много раз снижает объем вычислений.

Для частиц, вылетевших из центра катода, а также для частиц, траектория которых пересекается с осью, постоянная N, вычислен­ ная с помощью начальных условий, обращается в нуль. Очевидно также, что интегрирование последнего уравнения для вылетев­ ших из центра частиц излишне.

Интегрирование в полях со слабой неоднородностью. Разложе­ ния (191) полезно модифицировать и дальше. Особенно необхо­ димо это при расчете очень широкого класса приборов, в которых на частицы воздействуют магнитное и электрическое поля, близ­ кие к однородным. Рассмотрим прибор, в котором реализованы однородные электрическое и магнитное поля, параллельные его оси. Такой прибор обладает фокусирующими свойствами, и изоб­ ражение в нем полностью лишено кривизны и всех других аберра­ ций, кроме сферохроматической [21 ]. Однако практически можно получить поля, лишь достаточно близкие к однородным. Интегри­ рование уравнений (191) в близких к однородным полям представ­

64

ляет особый интерес и будет отдельно рассмотрено в § 19. Но именно в этом случае численное интегрирование встречает ряд трудностей, так как правые части представляют собой разности больших чисел, близких друг другу по величине, что приводит к потере точности вычислений. Поэтому для интегрирования урав­ нений движения в полях, близких к однородным, был разработан особый метод, приведенный ниже.

В строго однородных полях, напряженность которых доста­ точна для фокусировки, электрон двигался бы по спирали, нави­ той на цилиндр малого радиуса. Естественно, что в полях, близ­ ких к однородным, величина R — R ü также мала (R 0— коорди­ ната точки вылета). Обозначим эту величину через р и примем за малый параметр, по степеням которого разложим правые части

где

2( - 1 )nPn(Z)CtR2n~m\

~m

тот же смысл, что и в уравнениях (191).

Для электронов, вылетевших на достаточном расстоянии от оси, ряды (192) быстро сходятся и очень удобны для численного интегрирования. При вычислениях целесообразно применять тот же метод, что и для интегрирования уравнений (191).

Для частиц же вылетевших из центра катода, слагаемые, не стоящие в соотношениях (193) под знаком суммы, равны нулю. Кроме того, в этом случае в оставшихся членах формул (193) следует положить R 0 = 0, а р = R, после чего уравнения (192) совпадут с уравнениями (191), записанными для R 0 — 0. Однако уравнения движения в виде (192) часто полезно использовать аналогично (191) и при больших р в неоднородных полях. Именно с помощью (192) целесообразно вычислять ф' в тех случаях, когда из-за малости R неудобно пользоваться правой частью уравнения (182).