Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Пусть приближенная аппаратная функция прибора построена, например, на основе вычисления траекторий и задана в виде Q (х — s), где Ох и Os — те же координатные оси, что и на рис. 12, причем — I «s; х — s ^ /; 21 — интервал, на котором аппаратная функция отлична от нуля. Так описывается полный спектр, полу­ чаемый вдоль развертки Ох от источника единичной интенсивности

Предположим, что исследуется спектр излучений шириной [—hi, A J с плотностью, характеризуемой неизвестной функцией Ф! (s). При этом мы полагаем, что по условиям эксперимента

В результате прохождения через прибор получается экспери­ ментальный спектр, распределенный на интервале [ —h, h], где

h = hi ~Ь /.

Обозначим функцию, приближающую экспериментальный спектр, через / (х) и будем считать, что аппаратная функция при­ бора задана на более широком интервале [—А, А] в виде

(Q(x— s) при |x — s | ^ / ;

1 * S 1 0 при / < \х — s |^ A .

Очевидно, что такое продолжение Q (х — s) нулем допустимо, так как фактически не изменяет аппаратной функции.

Введем в рассмотрение неизвестную функцию ф (s), также заданную на интервале [—А, А]. Покажем, что если К г ( х — s) продолжить на всю числовую ось периодически, с периодом 2А, то задачу восстановления сигнала фх (s) можно свести к отысканию решения интегрального уравнения

—h

При этом примем во внимание, что, следуя условию (200), функ­ цию / (х) можно представить при любом сигнале фх интегралом вида

Кроме того, для интегрального оператора (201) с периоди­ ческим ядром типа свертки и при соблюдении условия К і (у) 6 6 Lä (—h, К) функции вида

70

являются собственными, т. е.

Вычислим спектр собственных чисел кт, одновременно дока­ зав тем самым справедливость равенства (204).

Примем для простоты дальнейших вычислений cp (s), f (х) и

К (г/) принадлежащими пространству І г [—h, h] четных функ­ ций в Z-2 [—h, h]. Поскольку система фт (s), определяемая выра­

жением (203), полна в L2 [—h, h], ядро можно представить в виде соответствующего ряда Фурье.

Подставим в левую часть уравнения (201) Кі ( х — s) из (205)

и(s) из (203). Меняя в уравнении (201) порядок суммирования

иинтегрирования и вычисляя интегралы с учетом ортогональ­

где bm определены в формуле (206).

Таким образом, фт (х) в выражении (203) действительно явля­ ются собственными функциями оператора К і из уравнения (201),

причем их система полна в L [—h, h\.

Допустим пока, что освещенность / (х) задана точно непрерыв­

71

где

Подстановка выражений (209), (210) и (205) в уравнение (201) позволяет, пока чисто формально, определить коэффициенты ап и тем самым построить формальное решение уравнения (201). Получаем

Подстановка выражений (202) в равенства (211) и (213) приво­ дит, с учетом четности функций, к разложению

Перемена порядка интегрирования и суммирования и вычис­ ление интегралов позволяет записать последнее выражение в виде

Таким образом, формальное решение уравнения (201) с пери­ одическим ядром позволяет восстановить сигнал фх; будучи про­ должено нулем на всю ось, оно удовлетворяет и (176), если учесть (200) . Решение (201) эквивалентно восстановлению периодичес­ кого сигнала, заданного на всей числовой оси с периодом 2ft и состоящего из импульсов фь повторяющихся на интервалах дли­ ной 2ftj. Меджу этими интервалами сигнал равен нулю..При усло­ вии, наложенном выше на Къ эти импульсы не могут интерфери­ ровать друг с другом и поэтому безразлично, что восстанавливать: один из них или же периодический сигнал, описанный выше.

Вычислительные приемы. Если функция f (х) измерена с точ­ ностью до случайной величины 6/, то в правую часть уравнения (201) вносится «шум», представляющий собой, вообще говоря, быстро осциллирующую функцию. Период осцилляции умень­ шается с уменьшением шага измерения правой части уравнения,

72

а следовательно, с уменьшением шага возрастает число неубыва­ ющих гармоник Фурье в разложении этой функции.

Количественные оценки показывают, что в этом случае с умень­ шением шага измерения правой части уменьшается устойчивость задачи. Иными словами, с уменьшением шага измерения освещен­ ности электронного изображения конечному разбросу получа­ емых значений соответствует неограниченно возрастающий раз­ брос вычисленных решений. Таким образом, при возрастании числа измерений информация о сигнале возрастает только до определенного предела, а затем снова уменьшается.

f(x)

Рис. 15. Распределение^ освещенности электрон­ ного изображения

усредненные значения

Как и во всех задачах такого рода, в данном случае при вос­ становлении сигнала следует применять алгоритм, регуляризирующий решение [65, 66, 1, 49, 38]. Каждый такой алгоритм до­ пускает некоторое оптимальное значение параметра регуляриза­ ции, зависящее от числа измерений, при котором информация об искомом сигнале является наибольшей по некоторому заранее определенному критерию. Этот критерий выбирают с учетом апри­

этой системе.

Как известно [48], при использовании подобного рода проек­ ционных методов целесообразно в качестве системы {ф„ (s)j выбрать систему собственных функций оператора. Такой выбор приводит к наиболее устойчивому и максимально простому алго­ ритму вычислений и обеспечивает то, что проекция решения на конечно мерное подпространство (pw(s) (именно она вычисляется при практической реализации алгоритма) дает наилучшее при­ ближение к точному решению уравнения (201). Поэтому целесооб­ разно пользоваться именно разложением (209).

73

Проиллюстрируем рассмотренный алгоритм численным при­ мером. На рис. 15 приведен график освещенности электронного изображения, полученного в идеализированном приборе, аппарат­ ут ная функция которого пред­ ставляет собой функцию Гаусса

ные значения кривых определялись из условия приближения восстановленного сигнала в смысле наименьшей квадратичной погрешности.

При решении на освещенность был наложен шум, распреде­ ленный по нормальному закону с дисперсией 0,05. Решение опти­ мизировалось, как описано в § 2, по числу проекций N.

74