Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Это выражение представляет собой формулировку для пре­ дельного решения частного случая общей теоремы Гельмгольца, хорошо известной в световой и электронной оптике [55]. В общем виде мы сформулируем эту теорему ниже.

Если угол вылета равен # <J я/2, то траектория электрона уже не совпадает с предельной, а в предельной плоскости возникает кружок рассеяния — хроматическая аберрация изображения.

Введем малый параметр

с

Uacos2 ф

(228)

І Г -

’

 

 

имеющий размерность длины,

и построим функцию

 

Ф =

U + Е

0с,

(229)

которую определим на интервале ( —с sg; Z < 1). Если потенциал U не задан за катодом, что иногда имеет место при аппроксимации потенциала в расширенной области, как это указывалось в § 1, то строим его гармоническое продолжение. После этого уравнение (129) можно переписать в виде

4#"Ф + 2Д'Ф' + (Ф" +

я 2/і2)

R = 0,

(230)

где Ф = U + Е 0с, причем U' = Ф';

U" =

Ф".

 

В последнем уравнении коэффициенты имеют особенность того же характера, что и в уравнении (219), но теперь уже в точке

Z — — с [19]. Линейно независимые

решения

уравнения

(230)

принимают теперь вид

 

 

 

 

Ri =

п-

+ • • •)

I

^231)

R l = l + b ' £ +

b&2+ад3+ •••, I

 

где I = Z + с.

Разложение в ряд Тейлора вокруг точки Z = — с потенциала Ф (Z) приводит к выражению

00

Ф (2 )= Е Ф * £ Й,

(232)

k—\

где

Такое же разложение напряженности магнитного поля Я (Z) дает

я (Z) = S dkl k.

(233)

k=0

где

л _

SO

Подстановка выражения (233), (232) и (231) в формулу (230) приводит к линейным треугольным системам уравнений, позво­ ляющим определять коэффициенты а\ и Ь\. Подстановка R x в фор­

мулу (230), где поля представлены в виде рядов Тейлора при­ водит ее к виду

(234)

Коэффициент при I 1 равен нулю. Приравнивание нулю коэф­ фициентов при (k = 0, 1 , 2 , . . . ) позволяет получить систему алгебраических уравнений с треугольной матрицей для определения elk. Первые уравнения этой системы имеют вид

 

 

 

 

2Фіа; = - Ф 2—

 

 

 

 

20Фі0г + (11Ф2 +

я2dl) а[ = — 8Ф3- 2л2с ^ 0;

 

 

 

 

М Ф і^-Т ( Э Ф а ф - d20) Ö2 +

 

 

 

 

+

( 6Фз +

2- f dido) al = ~ 5Ф4 —

dj;

 

24Ф10; +

( 17Ф2 +

f

dl) ul +

( 12Фз + i f dido) ъ

+

+ [ m

+

^ - ( d 21+

2d2d 0) ] a 1= : ~ 8 Ф 5 -

-2^ ( d 3d0 + d 2d l );

Те же

операции,

проделанные

относительно

/?„,

приводят

к уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k,

2

Фkb'nl k+n~2[4n (n — I) +

2л/г +

A (k -

1)] -4-

 

n= 1

 

 

 

 

 

 

 

' '

 

81

Приравнивание нулю коэффициентов при t,k позволяет полу­ чить систему уравнений с треугольной матр-ицей для определения bh

Фі&і = —ф2--П2" ,2 . '

4,

2Фі62 Ф,+

^.<й) ь\ =—Фз--^44;

+ ^

£ )

Ч+ (2Ф3-+^-44)бі =

I

ю ѳ

1

Я 2 <2.

!Tdb

 

 

 

28Ф^; + (19Ф2 +

4) Ьг’ + (13Ф3 + я24 4 ) Ь2 +

(237)

[іОФ4 + -у- (4 + 244)] &; =

- 1 0 Ф 5- я2 ( 4 4 +

44);

С помощью рядов (231) можно построить, как и прежде, ре­

шения R x и R 2,

удовлетворяющие условиям

 

 

 

Яі(0) = 0;

/?1(0) = 1; \

 

(238)

 

Ra(0) = 1;

(0) =0; J

 

 

 

 

Тогда общее

решение выразится через R x и R%

по формуле

 

R = RoRi + tgWi-

 

(239)

Для того чтобы выполнить (238), надо решения

R x

и R 2 за­

писать в виде

 

 

 

 

R i

= С Л + C2R 2\

R i = СзЯІ + С4/?2,

 

(240)

где Сі (7=1, 2, 3, 4) определяются выполнением условий

(238).

Окончательно

 

 

 

 

# 1 =

2 ] / - ^ cosG [ / Z + c./ty — ус "-pQ];

(241)

 

 

 

 

=[ - ^ + c p 'Q - ^ T + ^ . P ^ ] ,

где с определено согласно формуле (228);

 

со

 

 

 

со

 

 

в !=

s ЛФйС*-1;

Q (Z) -

1 + £ 4 (Z +

С)к\

к—1

СО

 

 

й=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 (Z )= 1

+

E 4 ( Z

+

c)*;

p -Q (O );

р =

Д(0);

 

q =

S kb'kck

p' = S ka’bPk

l-

 

 

 

ft=l

 

 

A=1

 

 

В случае с — 0 решения (241)

переходят в ряды (221).

82

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим отклонение истинной траектории R электрона, ёы- летевшего из центра катода (с =f=0), от предельной траектории R lm Записав уравнения (220) для к ъ а (219) — для R, домножим (220) на R, а (219) — на R t и составим разность получившихся

произведений

2U ( R R i - RTR) + U' { R ' R \ - R\'R) = - 2R"RiUocos2*.

Учтя тождество

2 V Ü ~ [ }/Ü (/?'/?? - R R i ) } = 2U ( R R 4 - R R T ) -f

 

+ (r 'rS

- rrH'),

 

 

получим

 

 

 

 

 

R'l# — RRi = —

Vu

I

~ .-dZ.

(242)

 

 

J

Vu

 

 

 

 

0

 

 

Разложим функцию

R\{Z)

стоящую в последнем

уравнении

Vu (Z ) ’

 

 

 

 

 

под знаком интеграла, в ряд Тейлора. Учтя ряд (221), разложив

потенциал

U (Z) аналогично (232) и приняв во внимание, что

U (0) = 0,

получим разложение вида

V U ( Z )

\

k = l

(243)

 

Кроме того, R = R! tg *. Из выражения (241) для R 1 следует, что

R" =

и. sin

ф

(244)

(Z + c)3/=

[ l + 0 ( c v*)].

Учитывая что

 

 

 

-

УLМл

 

0 f- -= -f

t gf

f4-l-

 

2

V

E 0 Sin °

j (Z + C )3*

g

^

V z + c

 

±

' f / v

 

^qk&dZ

 

 

 

 

Sin '

ft=i

 

j/T

tg * X

 

2

\

E0

 

(Z + c)3/‘

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

X

2

fc=1

£—

r [(2+ c)ft-,/3- ca-,/2]+ 0(c)

 

 

 

 

 

 

 

 

6*

83

И пренебрегая членами порядка с1''2, малыми по сравнению с еди­ ницей, получаем

R R i - RRi = Y l T е ; sin 2* -

(245)

В предельной плоскости, т. е. в плоскости изображения пре­

дельными лучами, Ri — 0, где Ri определяется по формуле (227). Подставляя эти значения в выражение (245), для сферохромати­ ческой аберрации в предельной плоскости получаем

Я = 4 ^ L Sin2tf.

(246)

£<)

 

Максимальный радиус кружка рассеяния соответствует лучам,

начальный угол которых я/4; в этом случае

 

R = ми0

(247)

Выражение (246) известно как формула Арцимовича—Рекна-

геля и полностью определяет собой сферохроматическую

аберра­

цию на оси катодных линз.

 

Таким же методом из формулы (242) можно определить вдоль всей траектории второе приближение для R, отбрасывая члены, пропорциональные с3/2. Опуская громоздкие выкладки (они при­ ведены в работе [19]), приведем лишь результат для оценки хро­ матической аберрации в плоскости фокусировки пучка с малым раствором и начальным потенциалом U0, т. е. в плоскости гауссова изображения. Частицы, исходящие из центра катода с начальным

потенциалом Uо и под углом ft к оси, образуют в указанной гаус­ совой плоскости кружок с радиусом

AR ==-^-(2 l/Z/of/ösm'ö' — По sin 2#).

(248)

Таким же путем можно исследовать движение электронов, вы­ летевших вблизи оси из точки R = R 0. В предельной плоскости [2 ]

R ^ ~ AH?o + ^ - s l n 2 0 .

(249)

Второе слагаемое по-прежнему характеризует хроматическую абер­ рацию, в связи с чем величина ее одинакова для всей плоскости изображения.

Полученные результаты можно применить и к лучам, имею­

щим составляющую скорости ujj, (саггитальные лучи) [2]. Формула Арцимовича—Рекнагеля остаетсяпри этом в силе.

В геометрической оптике доказывается, что для параксиаль­ ных лучей величина пйМ, представляющая собой произведение коэффициентов преломления п, апертуры ft й увеличения единицы

84

Смотрите также файлы