Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

длины М, остается неизменной при переходе от объекта к его изо­ бражению. В этом заключается содержание теоремы Лагранжа— Гельмгольца. Аналогичное соотношение можно сформулировать для эмиссионных систем.

Если формулу (226) вывести для уравнения (220), в котором

представляет собой теорему Лагранжа—Гельмгольца для эмис­ сионных систем. В плоскости изображения Ri = tg ф ^ sin ф, где ф — раствор пучка. Таким образом, из формулы (226) следует, что

Выбор знаков для отсчета углов и длин соответствует обще­ принятому в оптике. Следует подчеркнуть, что при малых зна­ чениях Uо последнее уравнение справедливо для любых значений угла # от нуля до я /2. Используя выражения (250) и (246), можно вычислить продольную аберрацию изображения AZ, т. е. расстоя­ ние от предельной плоскости до точки, где оптическая ось пере­ секается с лучом, имеющим начальный угол # и начальный по­ тенциал U0. Продольную аберрацию вычисляют по формуле [19]

Можно показать, что пучок траекторий, исходящих из центра катода с потенциалом U0, имеет наименьшее сечение в том месте, где тангенциальные траектории пересекают огибающую пучка, а плоскость наименьшего сечения отстоит от предельной на рас­ стоянии

Чтобы получить расстояние от гауссовой плоскости до пре­ дельной (AZ0) достаточно в равенстве (251) положить # = 0. От­ сюда видно, что AZ^AZo = 0,3. Радиус пучка в наименьшем се­ чении

Из выражений (251) и (250) или из выражения (248) с очевид­ ностью следует, что максимальный кружок рассеяния в гауссо­ вой плоскости

Чтобы окончательно установить полную хроматическую абер­ рацию и разрешение в центре электронно-оптической системы, нужно учесть, что начальные энергии электронов образуют

85

Непрерывный спектр. При фотоэмиссии этот спектр имеет точную верхнюю границу. О функциях распределения фотоэлектронов по углам и энергиям мы уже говорили в § 8. Для определения разрешающей силы необходимо вычислить распределение плот­ ности тока по сечению пучка в плоскости наилучшего изображе­ ния, т. е. определить функцию рассеяния. Однако при вычисле­ ниях такого рода возникают значительные трудности, характер­ ные для эмиссионных систем. Легко установить, что формально вычисленная плотность тока в центре пучка обращается в беско­ нечность. Действительно, плотность потока, создаваемого элек­ тронами с начальным потенциалом U 0 < U < U0 + d U обратно пропорциональна площади кружка рассеяния, т. е. как это сле­

дует из формулы (253), она пропорциональна \Шо- Стало быть, средняя плотность тока в центре определяется интегралом

(255)

Если функция распределения возрастает от нуля по линейному закону или медленнее, что в действительности и имеет место, то интеграл (255) расходится. Однако это — трудность чисто мате­ матического происхождения. Чтобы избежать ее, необходимо учесть конечную яркость источника фототока и физическую струк­ туру экрана. Вычислению функций рассеяния вблизи оси по­ священ следующий параграф.

§ 1 1 . Приближение функции рассеяния от точки вблизи оси катодной линзы

Построение функции рассеяния. Вычислим функцию рассея­ ния, пропорциональную плотности тока, как функцию коорди­ наты. При этом естественно за единицу длины принять радиус максимального кружка рассеяния в предельной плоскости, опре­ деляемый по формуле (247). Радиус в этих единицах обозначим через

где Umax — наибольший начальный потенциал электрона. Таким образом, pmax = I.

Обозначим через х величину Н0/Нгаах и будем по-прежнему считать, что распределение электронов по углам подчиняется за­ кону Ламберта. Тогда, учитывая формулу (196), число электро­

86

где Р (х) — функция распределения по энергиям; С — коэффи­ циент пропорциональности, определяемый нормировкой.

Формула (246), определяющая радиус в предельной плоскости, принимает вид

Таким образом, формула (258) позволяет при фиксированных величинах начальной энергии частицы х и угла вылета ■&опре­ делить координату р на экране; интервалы dp и d®, как следует из (258), связаны соотношением

d'Q dp

2 VX 2— р2

Теперь можно подсчитать относительное число электронов dN ъ вылетевших из центра катода с начальными энергиями, лежащими в промежутке (х , х + dx), и попавших в кольцо радиусом р и шириной dp

X ■ 2 V X1 — р2

Используя последнее выражение, вычислим плотность тока на экране на окружности с любым радиусом в пределах кружка рассеяния, создаваемую электронами со всеми возможными энер­

Располагая формулой (260) для определения плотности, можно найти кривую распределения электронного потока на экране.

Для вычисления / (р) можно воспользоваться либо параболи­ ческой функцией Р (х) [81 ], либо функцией, приближенной поли­ номом по экспериментальным данным, как об этом уже говори­

В обоих случаях плотность тока неограниченно растет при р -> 0. Эта трудность уже обсуждалась в предыдущем параграфе. Подоб­ ные вычисления приведены, например, в работах [35, 2, 86, 9]. Вид функции / (р) при приближении Р (х) полиномом седьмой степени, коэффициенты которого определены по § 8, приведен на рис. 18.

Расчет разрешения. Будем считать, что яркость изображения на люминесцентном экране пропорциональна плотности тока. За критерий разрешения двух точек примем, например, критерий Рэлея. При этом две светящие точки считаются разрешенными,

87

если при наложении функции рассеяния суммарная функция имеет два максимума величиной / шах и минимум между ними не более 0>8/тахУказанный выше вид функции / (р) позволяет разрешать сколь угодно близкие точки. Отсюда следует, что функция у (р), вычисленная формально с помощью формулы (260), не позволяет вычислить реальную яркость электронного изображения внутри кружка рассеяния. Однако, как уже указывалось, это — труд-

ность чисто математического происхождения, возникающая из-за того, что не учтена ни физическая структура экрана, ни конечная яркость источника

j >

жения пропорциональна плотности тока, усредненной по некото­ рым интервалам времени и площади.

Величину интервала усреднения h можно выбрать из следую­ щих физических соображений: по средней плотности тока с катода легко определить среднее количество электронов, попадающих в кружок рассеяния на экране за время высвечивания люмино­ фора. Примем это количество за интенсивность точечного источ­ ника, создающего кружок рассеяния. Следовательно, для опре­ деления реальной физической плотности тока необходимо разбить кружок рассеяния на такие равные площади, чтобы даже на самую периферийную из них (наименьшее значение у) за время высвечи­ вания попадал по крайней мере один электрон. Затем за значе­ ние у (р) примем среднее интегральное значение математической функции у на таком интервале. Очевидно, что таким образом мы получим наименьший из интервалов усреднения, имеющий физи­

88

ческий смысл. Одновременно мы определим, сколько электронов попадает в некоторую окрестность оси величиной Я2, когда на периферийную площадь, обладающую такой же величиной, по­ падает одна частица за время экспозиции. Это дает ориентировоч­ ную оценку того, во сколько раз центральная часть физического (а не математического) изображения точки ярче его периферийной части.

На рис. 19 изображен график плотности, представленной на рис. 18 и усредненной подобным образом по интервалам h. Усред­ нение производилось для плотностей тока порядка 10~7 А/см2.

Использование эквивалентной энергии. Из приведенных рас-

суждений следует, что реальное распределение плотности тока в электронном изображении и разрешение линзы зависят, вообще говоря, от величины общего катодного тока. Получившееся после операции усреднения распределение электронного потока на экране можно использовать в качестве функции рассеяния в уравне­ нии (178) для определения характеристик изображения и тем упро­ стить, в частности, оценку минимального разрешаемого расстоя­ ния по уравнению (178). Если воспользоваться для разрешения критерием Рэлея, то разрешаемое для дублета расстояние р0 определится как корень уравнения

Начальную энергию электронов, которые рассеивались бы внутри кружка с найденным р0, назовем э к в и в а л е н т н о й э н е р г и е й еэкв, а соответствующий ей начальный потенциал —

образуют электроны, вылетевшие из центра катода под углом 45°, его радиус, таким образом, равен

вольно стабильной характеристикой катодных линз и лежит в ин­ тервале 0,1—0,2 эВ. Определение этого параметра позволяет для оценки разрешения вблизи оси с учетом полной сферохромати­ ческой аберрации вычислять всего одну траекторию с начальным углом я/4 и начальным потенциалом Нэкв.

Покажем, что понятием эквивалентной энергии можно поль­ зоваться и в случае внеосевого изображения.

Вследствие кривизны поверхности изображения последняя на краю поля зрения значительно удалена от плоскости экрана. Оги­ бающими пучка, образующего фигуру рассеяния на экране, яв­ ляются поэтому лучи, вышедшие с катода по касательной к его поверхности. На расстоянии, достаточно далеком от наименьшего сечения пучка, все отрезки лучей между этим сечением и экраном

89