Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Во всяком случае в развиваемой ниже теории под катодной линзой мы подразумеваем область гладкого фокусирующего поля, прилегающего к эмиттеру. Чтобы выразить траектории и ошибки через производные поля на катоде, можно пользоваться рядами (273), (274), (232) и (233) для разложения в ряд подынтегральных функций в выражениях (272) и выделим с помощью такого приема

главную часть интеграла по параметру Y с, где с = U0 cos2 'д/Е^ подобно тому, как это сделано при выводе формулы (246).

Однако возможен и другой путь. Запишем решения уравнений движения в виде рядов Тейлора

которые нетрудно представить через производные осевого поля, вычисленные при Z = 0, и начальные скорости ѵ0.

Действительно,

d R

d x т=о — и0 sin# sin ф.

Из (191) следует, что

Так, для лучей, лежащих в меридиональной плоскости, можно при отсутствии магнитного поля и при четных п, отбросив члены

меньше Ro или ѵ0в выражении для производных, записать в общей форме, что

где — численные коэффициенты; Ei — (7<() (0).

100

При нечетных п общий вид производных таков:

Например, для плоского катода (Eik = 0) и лучей, выходящих по касательной в меридиональной плоскости (рассматриваем лишь случай электростатического поля), получаем

Из выражения (284) обращением ряда можно найти т (Z). Под­ ставив затем полученное значение в выражение (283), выводим

уравнение траекторий в виде суммы членов, пропорциональных R о (т. е. дисторсии), ѵо (т. е. сферохроматической аберрации) и voRo, (т. е. ошибке меридиональной кривизны поверхности изображения). Окончательно

101

где т 0 — время пролета приосевого электрона до плоскости изо­ бражения. Величину этого времени можно вычислить с помощью теории возмущений как корень выражения (283) при R 0 = О, если гладкость фокусирующего поля такова, что этот ряд доста­ точно быстро сходится. Когда нужно вычислить R (т) в заранее выбранной плоскости диафрагмы (Z = Zb), за которой траектории можно продолжить 'по прямой, то т„ определяется обращением главной части ряда (284) при R ü — 0. Получаем

Подставив (287) и (283), находим главный член в траектории. Он выражает собой параксиальное решение и ошибки как функции производных поля в центре катода.

Запись решения уравнений движения в виде (283) позволяет выразить ошибки как алгебраические функции высших производ­ ных поля. Поскольку и поле и решение уравнения движения яв­ ляются аналитическими функциями времени,, ряд (283) должен сходиться во всем рабочем объеме линзы. Если производные поля известны, а в (283) ряды для каждой из ошибок сходятся доста­ точно быстро, то нетрудно установить.законы, управляющие от­ дельными аберрациями.

Разложение (283) полезно, если производные поля на катоде заданы, причем заданы обязательно обеспечивающими сходимость всех рядов. Это может иметь место, например,- при решении обрат­ ной задачи, на чем мы еще остановимся подробнее в следующей главе. Однако использовать эти производные для решения пря­ мой задачи при рассмотренных выше алгоритмах приближения поля невозможно без особых приемов, так как вычисление выс­ ших производных в точке в этом случае — задача некорректная. В § 14 мы рассмотрим возможности ее регуляризации для прак­ тического использования приведенных выше разложений, а также установим границы их применимости.

102

Из сказанного выше вытекает, что если бы нам удалось при­ близить поле гармонической функцией, производные которой в центре катода обеспечивают быструю сходимость (283), то это позволило бы вычислить все параметры и ошибки изображения

идало бы аналитические формулы, выражающие величину оши­ бок в таком поле.

Вприложении 6 показан способ приближения гармонической функции в замкнутой осесимметричной области со с непрерывным

инепрерывно дифференцируемым граничным условием. Прибли­

Способ доказательства неравенства (289), приведенный в при­ ложении 6, дает наиболее эффективный алгоритм такого прибли­ жения: он позволяет оценить и скорость сходимости процесса приближения и погрешность данного приближения. На оснозе приведенного в приложении 6 доказательства можно также по­

где со 1 — цилиндр длиной а < L и радиусом г„, с образующей, параллельной оси Oz, причем, если гх— радиус диафрагмы, то Гр < г г\ L — постоянная. Выбрав L > п, можно мажорировать

ряд производных d _ 1, 2, 3 . . .), сходящийся геометри­ ей*

ческой прогрессией, а коэффициенты а„ — определять по методу наименьших квадратов. Такой алгоритм также может послужить основой доказательства (289). Его преимущество — простота, но сходится он сравнительно медленно и оставляет мало возможностей для оценки погрешности приближения. Для области сох, содер­ жащейся в со и отделенной от границы, т. е. для сох а Ü с: со, частным случаем функции ѵ (г, г) в (289) является гармонический полином. Но его производные резко возрастают (как /г!, где k — порядок производной) при k sg N, где N — степень полинома,

103